Тогда общий закон движения для условий задачи

v = 20                                             (2.24)

Дополнительное условие указывает, что при t = 40 сек = ч скорость лодки составляет 8 км/ ч.

Отсюда                                                    

8 = 20  или .

Подставляя числовые данные в найденный закон движения (2.24), учитывая при этом, что t=2 мин =   ч, получим

 км/ч.

Итак, скорость лодки, спустя 2 мин. снизится до 1,28 км/ч.

Пример 2.7. Водород расширяется при постоянной температуре от своего первоначального объема V₀, имея первоначальное давле­ние р₀, при некотором внешнем давлении, которое бесконечно мало отличается от давления газа. Найти произведенную водородом работу.

Решение. Дифференциальное уравнение процесса (изотермического расширения газа) имеет вид (1.2)

                                       dW =                                     (2.25)

 

Интегрируя уравнение (2.25), получим общее решение этого уравнения

W = p₀V₀ lnV + C.

Из начальных условий следует, что при V==V_0: W==0, отсюда

0 = p₀V₀ lnV₀ + C

и

C = - p₀V₀ lnV₀.

Таким образом, работа расширения

.

Пример 2.8. Пластина из графита толщиной 10 мм на поверх­ностях имеет постоянные температуры T₁= 1300° С и T₂= 100° С. Найти удельный поток, теплоты q, проходящий через графитную пластину с коэффициентом теплопроводности .

Решение. Дифференциальное уравнение переноса тепла (1.3)

после интегрирования принимает вид

                     (2.26)

Неизвестные C и q находятся из дополнительных условий, соответствующих краевой задаче.

Первое условие: при x = 0 T = T₁ = 1300 ⁰C. Отсюда 0 =  и С = . Подставляем значение С в общий интеграл (2.26):

.

Второе условие: при х = 10 мм T = T₂ = 100° С, откуда

q = = 8,32  ккал/м²ч.

Схема методов интегрирования уравнений первого порядка

В заключение, схематично отразим рассмотренные нами выше методы решения уравнений первого порядка.

Таблица 2.1. Схема интегрирования уравнений первого порядка  

Уравнение	Тип уравнения	Метод решения
	с разделяющимися переменеными	Разделение переменных и интегрирование
	Линейное 1-го порядка
.	Уравнение Бернулли
.	Однородное 1-го порядка
P(x,y)dx+Q(x,y)dy = 0 P(x,y) и Q(x,y) -однородные функции одинаковой степени

1.10. Дифференциальные уравнения высших порядков

Задача Коши

 В этом разделе рассматриваются дифференциальные уравнения порядка выше первого

                                     (3.1)

Особое внимание мы уделим уравнениям, разрешенным относительно старшей производной, т.е. уравнениям вида

.                                (3.2)

Для дифференциального уравнения (3.2) n-го порядка задача Коши состоит в нахождении такого решения  уравнения (3.2), которое вместе со своими n-1 первыми производными принимает в заданной точке x₀ заданные значения , то есть

, , …, .                   (3.3)

Условия (3.3) называются начальными.

Вопрос о существовании и единственности решений задачи Коши решает следующая

Теорема 3.1. Если в уравнении (3.2) функция  и ее частные производные по переменным  непрерывны в некоторой области, содержащей значения , то существует единственное решение этого уравнения , удовлетворяющее начальному условию (3.3).

Если решение уравнения (3.2) зависит от n произвольных постоянных:

,                            (3.2а)

так что из (4.3а) можно получить любое решение уравнения, то функция (3.2а) называется общим решением уравнения (3.2). Это определение можно уточнить, потребовав единственности решения соответствующих задач Коши, как в случае уравнения первого порядка.