a. Функция не зависит явно от х, то есть . Уравнение Эйлера принимает вид , и, следовательно, . Это уравнение называется первым интегралом уравнения Эйлера.
b. Функция не зависит явно от t и х, то есть . Уравнение Эйлера записывается в виде . Его общее решение имеет вид , а условие дает ОДУ первого порядка.
c. Функция не зависит явно от t и , то есть , или не зависит явно от , то есть . Задача поиска экстремума в общем случае решения не имеет, т.к. уравнение Эйлера принимает вид и не является дифференциальным, т.е. не содержит произвольных постоянных интегрирования и, вообще говоря, поэтому не удовлетворяет граничным условиям. Однако, если в частном случае решение уравнения проходит через граничные точки х0, х1, то экстремаль существует.
d. Подынтегральная функция имеет вид . Уравнение Эйлера в этом случае записывается в форме
Это уравнение не является дифференциальным. Если его решение удовлетворяет граничным условиям, то экстремаль существует. Если , то решения нет.
e. Функция не зависит явно от t, то есть . Уравнение Эйлера в этом случае имеет вид:
|
|
f. .
Если это уравнение умножить на , то его можно преобразовать к виду
g.
Полученное ДУ имеет первый интеграл .