Различают сильный и слабый локальный минимум (максимум) функционала.
Говорят, что функционал достигает на кривой сильного минимума (максимума), если в сильной e - окрестности кривой .
Говорят, что функционал достигает на кривой слабого минимума (максимума), если в слабой e - окрестности кривой .
Замечание. Всякий сильный экстремум функционала является и слабым. Обратное, вообще говоря, неверно.
Необходимое условие экстремума функционала.
Если функционал , имеющий вариацию, достигает минимума или максимума на кривой , где есть внутренняя точка области определения функционала, то при первая вариация функционала равна нулю: .
Замечание. Различие между сильным и слабым экстремумом не имеет существенного значения при выводе достаточного условия экстремума, но весьма существенно при выводе и применении достаточных условий экстремума.
При выводе достаточных условий экстремума функционала для различных постановок вариационных задач применяется следующая важная лемма.
|
|
Основная лемма вариационного исчисления.
Если для каждой непрерывной функции
, (21)
где функция непрерывна на отрезке , то на том же отрезке.
Замечание. Утверждение основной леммы вариационного исчисления не изменится, если на функцию наложить следующие дополнительные ограничения: имеет непрерывную на отрезке производную и
Рассмотрим необходимое условие экстремума для интегрального функционала вида
, (22)
где функция непрерывна вместе со своими первыми частными производными .
Первая вариация функционала, вычисленная по второму способу (см. п. 2.3), будет определяться формулой:
. (23)
Для вычисления частной производной под знаком интеграла введем переменные . Тогда
. (24)
Учитывая, что при , из (23) с учетом (24) получаем
(25)
Таким образом, необходимое условие экстремума функционала (22) имеет вид
. (26)
Задачи с фиксированными границами.
Уравнение Эйлера
Рассмотрим множество М допустимых функций, удовлетворяющих следующим условиям:
- функции определены и непрерывно дифференцируемы на интервале где и заданы, т.е.
- функции удовлетворяют граничным условиям
(27)
где значения и заданы, т.е. кривые проходят через две закрепленные граничные точки.
На множестве М задан функционал
|
|
(28)
где подынтегральная функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно по всем переменным.
Среди допустимых функций (кривых) требуется найти функцию (кривую) , на которой функционал (28) достигает экстремума, т.е.
(29)
и на кривые не наложены никакие дополнительные условия, кроме граничных условий (27).
Поскольку в граничных точках функции x(t) принимают фиксированные значения, вариации функций в граничных точках равны нулю:
(30)
Первая вариация функционала (28) определяется полученной ранее формулой (25), которую можно разложить на сумму двух интегралов:
. (31)
Проинтегрируем второй интеграл в формуле (31), используя правило интегрирования по частям .
Обозначим , тогда
. (32)
Подставляя полученный результат в (31) с учетом (30) получаем
(33)
Необходимое условие экстремума функционала , откуда
. (34)
В уравнении (34) вариация - произвольная непрерывная на функция, поэтому согласно основной лемме вариационного исчисления из (34) следует
(35)
Уравнение (35) называется уравнением Эйлера для функционала и является необходимым условием экстремума функционала (28) с граничными условиями (27). Функции , удовлетворяющие уравнению (35), называются экстремалями функционала.