План занятия

1. Основное тригонометрическое тождество и следствия из него

2. Формулы приведения

Вопрос 1. Основное тригонометрическое тождество и следствия из него

Рассмотрим единичную окружность в прямоугольной системе координат, центр совпадает с началом координат, из центра проведен луч ОВ, точка В имеет координаты (х; у). Тогда:

Уравнение окружности с центром в начале координат имеет вид:

Так как радиус окружности равен 1¸то уравнение примет вид:

Следовательно,

Данное выражение называется основным тригонометрическим тождеством, с помощью него мы сможем вычислять значения тригонометрических функций по известному значению одной из них; выражать одну тригонометрическую функцию через другую

Выразим синус  и косинус:

Получим еще несколько формул:

Разделим обе части равенства на , получим:

Разделим обе части равенства на , получим:

Вопрос 2. Формулы приведения

При тригонометрических преобразованиях надо стремиться к уменьшению угла до значения, меньшего 90°, а лучше – меньшего 45°.

Формулы приведения – это формулы, с помощью которых тригонометрические функции произвольного угла можно привести к функции острого угла.

Для этого используют следующие правила:

1. Если угол отрицательный, то тригонометрические функции данного угла приводятся к тригонометрическим функциям положительного угла по формулам:

cos(-α) = cos α, sin(-α) = - sin α, tg(-α) = - tgα, ctg(-α) = - ctgα

2. а) при переходе от функции углов  к функциям  угла x название функции изменяют: синус на косинус, тангенс на котангенс (и наоборот), а при переходе от функции углов к функции угла x название функции сохраняют;

б) считая x острым углом (т.е. 0 <x< /2) перед функцией угла x ставят такой знак, который имеет исходная функция в соответствующей четверти.

Пример 1. Приведите sin 777° к тригонометрическим функциям острого угла.

Решение. Для начала представим угол 777 градусов в виде, необходимом для применения мнемонического правила. Это можно сделать двумя способами: или .

Исходный угол является углом первой четверти, синус для этого угла имеет знак плюс.

Для представления название синуса нужно оставить прежним, а для представления вида синус придется поменять на косинус.

В итоге имеем и .

Пример 2. Вычислить

Решение: = - cos 60° - (- sin 60°) =

Пример 3. Вычислить cos630°-sin1470°

Решение: cos630°- sin1470° = соs(720°-90°) – sin(2*720°+30°) = cos 90°-sin 30° = 0 –  = –