Теорема 21.2 В любой треугольник можно вписать окружность

1 2

Класс: 7

Тема урока: Описанная и вписанная окружности около треугольника

Тип урока: изучение нового учебного материала.

ХОД УРОКА:

Устно ответьте на вопросы: 1) Что такое окружность?

2) Дайте определение треугольника?

3) Что такое перпендикуляр?

4) Что такое серединный перпендикуляр?

5) Что такое касательная?

6) Что такое биссектриса треугольника?

Изучение нового материала.

Определение: Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все вершины этого треугольника.

ОА=ОВ=ОС=R

Говорят также, что треугольник вписан в окружность.

Теорема 21.1 Около любого треугольника можно описать окружность.

Практическая работа. Построить произвольный треугольник АВС. Провести серединные перпендикуляры m и n и k к сторонам АВ,АС и ВС соответственно. Что можно сказать о взаимном расположении серединных перпендикуляров?

Следствие 1. Три серединных перпендикуляра сторон треугольника пересекаются в одной точке.

Обозначить точку пересечения буквой О. Т. к. точка О принадлежит серединному перпендикуляру m, то ОА=ОВ. Поскольку точка О принадлежит серединному перпендикуляру n, то ОА=ОС. Значит ОА=ОС=ОВ, т. е. тоска О равноудалена от всех вершин треугольника.

Около треугольника можно описать только одну окружность, т. к. серединные перпендикуляры имеют только одну точку пересечения.

Провести окружность с центром в точку О. Что можно сказать о взаимном расположении треугольника и окружности?.

Следствие 2. Центр окружности, описанной около треугольника, – это точка пересечения серединных перпендикуляров его сторон.

Определение: Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

В этом случае также говорят, что треугольник описан около окружности.

Точка О (рис. 301) — центр вписанной окружности треугольника АВС, отрезки ОМ, ON, OP - радиусы, проведённые в точки касания,
ОМ AB, ON ВС, OP AC. Поскольку ОМ = ON=OP,то центр вписанной окружности треугольника равноудалён от всех его сторон.

Теорема 21.2 В любой треугольник можно вписать окружность.

Практическая работа. Построить произвольный треугольник АВС. Провести биссектрисы углов А и В., Обозначить точку их пересечения буквой О. Т. к. точка О принадлежит биссектрисе угла А, то она равноудалена от сторон АВ и АС.(теорема 19.2). Аналогично, так как точка О принадлежит биссектрисе угла В, то она равноудалена от сторон ВА и ВС. Следовательно, точка О равноудалена от всех сторон треугольника.

Заметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность.
Это следует из того, что биссектрисы углов А и В (см. рис. 302) пересекаются только в одной точке. Следовательно, существует только одна точка,
равноудалённая от сторон треугольника.