В каких плоскостях лежат основания призмы?

1 2

Тема. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МНОГОГРАННИКА

И ЕГО ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.

Вопросы темы:

Определение многогранника.

Основные элементы многогранников.

Решение задач.

Домашнее задание.

Вопрос 1. Определение многогранника

Дадим понятие многогранника как геометрической фигуры, составленной из плоских геометрических фигур:

Многогранник ( полиэдр: поли – много, эдр - грань ) – совокупность конечного числа плоских многоугольников, где:

1. Каждая сторона любого из многоугольников это одновременно сторона другого многоугольника (но только одного многоугольника, который называем смежным с первым многоугольником именно по данной стороне);

От любого из многоугольников, составляющих многогранник, можно дойти до любого другого многоугольника, переходя к смежному с ним, а от этого, в свою очередь, к смежному с другим, и т.д.

Приведенное определение многогранника получает различный смысл в зависимости от того, как определить многоугольник:

– если под многоугольником понимают плоские замкнуты ломаные (хотя бы и само пересекающиеся), то приходят к данному определению многогранника;

– если под многоугольником понимать часть плоскости, ограниченной ломанными, то с этой точки зрения под многогранником понимают поверхность, составленную из многоугольных кусков. Если эта поверхность сама себя не пересекает, то она есть полная поверхность некоторого геометрического тела, которое так же называют многогранником;

- от сюда возникает третья точка зрения на многогранники как на геометрические тела, при чем допускается также существование у этих тел “дырок”, ограниченных конечным числом плоских граней.

Дадим еще одно определение многогранника с точки зрения стереометрии, как объемной геометрической фигуре в пространстве.

Многогранник (многогранная поверхность) – это поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело.

В качестве примеров, рассмотрим два простейших вида многогранников:

1. Треугольная пирамида, которая носит название тетраэдр.

Тетраэдр ABCD – это поверхность, составленная из четырех треугольников: АВС, ADB, BDC и ADC (рис. 1).

Рис. 1

2. Четырехугольная призма, которая носит название параллелепипед.

Параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ – это поверхность, составленная из шести параллелограммов:

АВСD, A1B1C1D1,

AA1D1D, BB1C1C,

AA1B1B, DD1C1C, (Рис. 2).

рис. 2

Вопрос 2. Основные элементы многогранников

Из выше приведенных определений многогранника можем сформулировать следующий вывод:

- многоугольники, составляющие многогранник, являются гранями многогранника;

- стороны многоугольников, составляющих многогранник, являются – ребрами многогранника;

- вершины многоугольников, составляющих многогранник, являются – вершинами многогранника.

Отсюда следует, что грани, ребра и вершины многогранника являются основными элементами многогранника:

Грань многогранника – это любой из многоугольников, составляющих многогранник.

Ребро многогранника – это любая из сторон грани многогранника.

Вершина многогранника – это точка пересечения соответствующих ребер многогранника.

Примерами многогранника являются призма и пирамида.

Рассмотрим, какими основными элементами характеризуются представленные в Вопросе 1 многогранники тетраэдр и параллелепипед.

1. Основные элементы тетраэдра ABCD

Грани: треугольники АВС, ADB, BDC, ADC.

Ребра: АВ, АС, ВС, DC, AD, BD.

Вершины: А, В, С, D.

2. Основные элементы

параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁

Грани: параллелограммы

АА₁D₁D, D₁DСС₁, ВВ₁С₁С, АА₁В₁В, ABCD, A₁B₁C₁D₁.

Ребра: АА₁, ВВ₁, СС₁, DD₁, AD, A₁D₁, B₁C₁, BC, AB, A₁B₁, D₁C₁, DC.

Вершины: A, B, C, D, A₁, B₁, C₁, D₁.

Вопрос 3. Решение задач

Задача 1

Дано:

SABC - пирамида; ΔАВС – правильный треугольник;

SΔABC = 9√3 см2;

(SBC)⊥(ABC), (SAC)⊥(ABC), ∠SHC = 30°.

Найти: SC, SA, SB

Решение:

Примечание: рассматриваем решение задачи, исключив п.6. (в Решении) и в Ответе – последнее число.

Ответ:

Задача 2

Дано: SABC - пирамида. ΔАВС - прямоугольный треугольник

АС = ВС; SC⊥(ABC); ∠SHC = 45°; АВ = 4√2 см.

Найти: SC, SA, SB.

Решение:

1) ΔАВС - прямоугольный:

АС = ВС = 4 см.

2) ΔНВС- прямоугольный треугольник:

Ответ:

Примечание: рассматриваем решение задачи, исключив п.6. (в Решении) и в Ответе – последнее число.

Вопрос 4. Домашнее задание

Задание 1 (на пп. 1-2 дать развернутые ответы)

1. Какое минимальное число граней может иметь призма? Сколько вершин, сколько ребер у такой призмы?

2. Существует ли призма, которая имеет ровно 100 ребер?

Задание 2

Решить задачу.

Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найдите высоту призмы (перпендикуляр, опущенный из вершины призмы на ее основание), если боковое ребро равно 6 см.

Задание 3

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания пирамиды угол 45°.

Найдите высоту пирамиды.

Задание 4

Высота правильной четырехугольной пирамиды равна √6 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°.