Используем полученные знания, в частности, при решении ниже следующих задач

Тема. Решение задач

На нахождение элементов пирамиды

 

Повторение элементов пирамиды.

Геометрические свойства основания пирамиды.

Решение задач на нахождение элементов пирамиды.

Домашнее задание.

 

Вопрос 1. Повторение элементов пирамиды

 

Для решения задач по нахождению элементов пирамиды повторим на общей схеме элементы пирамиды (Рис.1):

 

Рис.1

 

При этом студент должен знать определение и суть каждого элемента пирамиды, рассмотренные на предыдущем занятии.

Вопрос 2. Геометрические свойства

Основания пирамиды

 

Для решения задач по определению элементов пирамиды необходимо знать геометрические свойства пирамиды.

Следует обратить внимание, что геометрические свойства пирамиды во многом определяются свойствами основания.

 

Рассмотрим эти свойства для:

1. Правильной треугольной пирамиды.

2. Правильной четырехугольной пирамиды.

3. Правильной шестиугольной пирамиды.

 

1. Рассмотрим правильную треугольную пирамиду, в которой основанием является правильный треугольник, это означает, что количество сторон в основании равно трем (n = 3).

На Рис.2 представлена схема основания правильной треугольной пирамиды – правильный треугольник.

Рис. 2. Правильный треугольник

В правильном треугольнике:

- радиус вписанной окружности (),

- радиус описанной окружности (),

- высота основания () –

связаны следующим образом:

.

Рассмотрим треугольник . Он прямоугольный. Выразим из него высоту :

.

Итак, теперь мы знаем формулы по определению радиуса вписанной окружности, радиус описанной окружности, и высоты основания правильной пирамиды.

А также в будущем мы сможем пользовать и формулой определения площади основания данной пирамиды:

.

 

 

2. Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду, в которой основанием является квадрат, это означает, что количество сторон в основании равно трем (n = 4).

На Рис.3 представлена схема основания правильной четырехугольной пирамиды – квадрат.

 Рис. 3. Квадрат

АВ = а (сторона квадрата)

- Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и равны.

Из прямоугольного равнобедренного треугольника АВС находим величину диагоналей квадрата: АС = ВD = а √2.

- ОВ – радиус описанной окружности:

 

- ОА₁ – радиус вписанной окружности:

- Площадь основания: S_ABCD = a²

3. Рассмотрим правильную шестиугольную пирамиду, в которой основанием является правильный шестиугольник, это означает, что количество сторон в основании равно трем (n = 6).

На Рис.4 представлена схема основания правильной шестиугольной пирамиды – правильный шестиугольник.

Рис. 4. Правильный шестиугольник

 

Чтобы нарисовать правильный шестиугольник, удобно пользоваться следующим алгоритмом (рисунок 4):

Построить окружность (зеленая пунктирная линия);

Провести диаметр (вертикальная синяя пунктирная линия);

Отметить середины радиусов построенного диаметра;

Провести через середины перпендикуляры (красные пунктирные линии);

Получены вершины шестиугольника – построить правильный шестиугольник, в котором:

.

Используем полученные знания, в частности, при решении ниже следующих задач.

Вопрос 3. Решение задач