1. Простейшее логарифмическое уравнение имеет решение .
Пример 1. Решите уравнение .
Решение. Находим область допустимых значений (ОДЗ): .
Уравнение является простейшим логарифмическим уравнением, следовательно, имеет решение:
.
Полученный корень удовлетворяет области допустимых значений.
Ответ: 5.
2. Для логарифмических уравнений, так же, как и для показательных уравнений, используется приём приведения обеих частей уравнения к одному основанию, а затем уравнение вида , где приводится к равносильной системе
с помощью метода потенцирования.
Пример 2. Решите уравнение .
Решение. Находим ОДЗ из системы:
.
Таким образом, областью допустимых значений x является промежуток . Решаем уравнение . С помощью потенцирования получаем квадратное уравнение , т.е. , корнями которого являются числа и . Корень не принадлежит ОДЗ.
Ответ: 5.
Пример 3. Решите уравнение .
Решение. ОДЗ:
Приводим все логарифмы, входящие в уравнение, к одному основанию:
.
Корень x=64 удовлетворяет ОДЗ.
|
|
Ответ: 64.
3. Уравнения второй и более высоких степеней относительно логарифма решаются методом замены переменной .
Пример 4. Укажите сумму корней уравнения .
Решение. ОДЗ: .
Преобразуем правую часть уравнения, переходя к основанию 2: . Решаем преобразованное уравнение с помощью замены переменной . Получаем уравнение . Корнями данного уравнения являются числа , и . Делаем обратную замену:
.
Корень не удовлетворяет ОДЗ. Сумма корней уравнения равна 32,25.
Ответ: 32,25.
Пример 5. Решите уравнение .
Решение. ОДЗ: .
Используем свойства логарифмов: , .
Тогда получаем уравнение , делаем замену и решаем иррациональное уравнение:
Корни квадратного уравнения , . Делаем проверку. При правая часть уравнения отрицательна, следовательно, не является корнем уравнения. Подставляя в уравнение, получаем . Таким образом, является корнем уравнения. Тогда
Ответ: 16.
4. Уравнения вида решаются методом логарифмирования. Эти уравнения приводится к виду при условии и . Основание логарифма a выбирается по виду конкретного уравнения.
Пример 6. Найдите сумму корней уравнения .
Решение. ОДЗ: .
Логарифмируем по основанию 5 обе части уравнения:
.
Введём новую переменную , тогда уравнение примет вид . Делаем обратную замену:
Сумма корней уравнения равна 30.
Ответ: 30.
5. Уравнение может содержать и показательную, и логарифмическую функции, а также композицию этих функций.
Пример 7. Найдите наименьший корень уравнения .
Решение. ОДЗ: .
Получаем совокупность двух уравнений и решаем каждое из них:
Значение , таким образом, уравнение имеет два корня .
|
|
Ответ: -0,6.
6. Некоторые логарифмические уравнения решаются графически. При этом находятся точки пересечения графиков функций, стоящих в левой и правой части уравнения.
Пример 8. Решите графически уравнение . Укажите промежуток, в котором находится его корень.
1) (-2;-1)
2) (-1;0)
3) (0;1)
4) (1;2)
Решение. Функция возрастает, а функция убывает для всех , следовательно, графики этих функций имеют одну точку пересечения. Строим графики и определяем промежуток, содержащий корень уравнения .
Ответ: 2).
7. При решении систем логарифмических уравнений используются приемы решения систем алгебраических уравнений, свойства логарифмов и приемы решения логарифмических уравнений.
Пример 9. Найдите значение выражения x+y, если (x;y) – решение системы
Решение. ОДЗ: .
Из второго уравнения системы выражаем и подставляем это выражение в первое уравнение. Решаем полученное логарифмическое уравнение:
.
Из последнего уравнения находим значение x=3 и подставляем его в уравнение . Получаем y=0,25. Таким образом, x+y = 3,25.
Ответ: 3,25.
Приведём теперь более сложные задания, в которых требуется решить логарифмические уравнения.
Пример 10. Найдите все значения x, при каждом из которых выражения и принимают равные значения.
Решение. Согласно условию задачи . Находим ОДЗ: . Используя свойства логарифмов, решаем полученное уравнение:
Значение , следовательно, не является корнем уравнения.
Ответ: 0; 0,3.
Пример 11. Решите систему уравнений:
Решение. Область допустимых значений определяется следующими условиями:
Упрощаем первое уравнение системы:
.
Подставляем во второе уравнение системы:
.
Находим значения y. Если , то , если , то . Получаем решение системы (-5;-10).
Ответ: (-5;-10).
Задачи.
1. Решите уравнения:
1) ;
2) ;
3)
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) ;
11) ;
12)
13) ;
14) .
2. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения
1)
2) [-1;2]
3) (2;5]
4)
3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения
1)
2)
3)
4)
4. Сумма корней уравнения равна
1) 4
2) 2
3) -4
4) -2
5. Если точка пересечения графиков функций и , то значение равно
1) 1
5) -1
9) 5
2) 2
6) -2
10) -5
3) 3
7) -3
11) 6
4) 4
8) -4
12) -6
6. Наибольший корень уравнения равен
1) 10
5) 16
9) 13
2) 20
6) 18
10) 25
3) 12
7) 8
11) 27
4) 14
8) 11
12) 29
7. Наибольший корень уравнения равен
1) 10
5) 100
9) -1
2) 1
6) 0,1
10) – 20
3) 1000
7) 0,01
11) 17
4) – 10
8) -100
12) -17
8. Корень уравнения принадлежит промежутку
1) (-10;-8)
5) (-1;0)
2) (8;10)
6) (0;1)
3) (5;7)
7) (2;3)
4) (-7;-5)
8) (-3;-2)
9. Произведение корней уравнения равно
1) 0
5) -6
2) 3
6) 9
3) -3
7) -9
4) 6
8) 1
10. Найдите наибольший корень уравнения .
11. Произведение корней уравнения равно
1) 9 2) 3 3) 27 4)
12. Корень уравнения принадлежит промежутку
1) (-1;0)
5) (0;1)
2) (2;4)
6) (0;2)
3) (15;17)
7) (-2;0)
4) (4;6)
8) (-4;-2)
13. Решите уравнение .
14. Найдите сумму корней или корень, если он единственный, уравнения .
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
15. Найдите произведение корней уравнения
1) -6
5) 1
2) -1
6) 0
3) 3
7) -3
4) 5
8) -5
16. Разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения равна
1) -6
5) 4
2) -4
6) 6
3) 8
7) -8
4) 2
8) -2
17. Найдите сумму корней уравнения .
18. Найдите наибольший корень уравнения .
19. Найдите произведение всех корней уравнения .
20. Найдите сумму всех корней уравнения .
21. Решите графически уравнение . Укажите промежуток, в котором находится его корень.
1) (-2;-1)
2) (-1;0)
3) (0;1)
4) (1;2)
22. Решите графически уравнение . Укажите промежуток, в котором находится его корень.
1) (-3;-2)
2) (-2;-1)
3) (0;1)
4) (1;2)
23. Решите уравнение
24. Найдите все значения x, при каждом из которых выражения и принимают равные значения.
25. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций и .
26. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций и .
|
|
27. Если - решение системы уравнений то произведение равно
1) 2
5) 4
9) 5
2) 1
6) -4
10) -5
3) -2
7) 3
11) 0
4) -1
8) -3
12) 25
28. Найдите значение выражения x+y, если (x;y) – решение системы
29. Решите системы уравнений:
1)
2)