Метод решения относительно параметра

1 2

Методы решений задач с параметрами.

Аналитический метод.

Это способ прямого решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.

Пример 1. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение:

(2a – 1)x² + ax + (2a – 3) =0 имеет не более одного корня.

Решение:

При 2 a – 1 = 0 данное уравнение квадратным не является, поэтому случай a =1/2 разбираем отдельно.

Если a = 1/2, то уравнение принимает вид 1/2 x – 2 = 0, оно имеет один корень.

Если a ≠ 1/2, то уравнение является квадратным; чтобы оно имело не более одного корня необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был неположителен:

D = a ² – 4(2 a – 1)(2 a – 3) = -15 a ² + 32 a – 12;

Чтобы записать окончательный ответ, необходимо понять,

Графический метод.

В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики в координатной плоскости (x;y) или в плоскости (x;a).

Пример 2. Для каждого значения параметра a определите количество решений уравнения .

Решение:

Заметим, что количество решений уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций и y = a.

График функции показан на рис.1.

Рис.1

Рис. 2

Рис. 3

y = a – это горизонтальная прямая. По графику несложно установить количество точек пересечения в зависимости от a (например, при a = 11 – две точки пересечения; при a = 2 – восемь точек пересечения).

Ответ: при a < 0 – решений нет; при a = 0 и a = 25/4 – четыре решения; при 0 < a < 6 – восемь решений; при a = 6 – семь решений; при

6 < a < 25/4 – шесть решений; при a > 25/4 – два решения.

Метод решения относительно параметра.

При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение становится более простым. После упрощений нужно вернуться к исходному смыслу переменных х и а и закончить решение.

Пример 3. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение = - ax +3 a +2 имеет единственное решение.

Решение:

Будем решать это уравнение заменой переменных. Пусть = t, t ≥ 0, тогда x = t ² + 8 и уравнение примет вид at ² + t + 5 a – 2 = 0. Теперь задача состоит в том, чтобы найти все а, при которых уравнение at ² + t + 5 a – 2 = 0 имеет единственное неотрицательное решение. Это имеет место в следующих случаях.