I. Создание векторов и матриц в Mathcad

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 28

ДЕЙСТВИЕ НАД МАТРИЦАМИ В MATHCAD.

Цель работы:

ü изучить основные операторы и функции работы с матрицами и векторами в MathCAD;

ü приобрести практические навыки выполнения операций с матрицами с использованием математического пакета MathCAD;

ü осуществить действия над матрицами в среде MathCAD.

 

Обеспечение работы:

ü ПК с установленными необходимыми программами для работы (MathCad);

ü методические указания к выполнению работы (электронный вариант).

Порядок выполнения работы:

1. Ознакомиться с теоретическим материалом данных методических указаний;

2. Выполнить задания, приведенные в разделе II. Порядок выполнения работы;

3. Ответить на контрольные вопросы, сделать выводы.

4. Оформить отчет.

 

Содержание отчета:

ü тема, цель и порядок выполнения работы;

ü привести выполненные задания (скриншоты);

ü ответы на контрольные вопросы;

ü выводы.

Теоретические положения

I. СОЗДАНИЕ ВЕКТОРОВ И МАТРИЦ В MATHCAD

Матричное исчисление играет важную роль в компьютерной математике. Практически все численные методы на том или ином этапе работы своего алгоритма сводятся к решению систем линейных алгебраических уравнений, которое часто производится матричными методами. Также следует отметить, что и понятие «вектор» обычно не отделяют от понятия «матриц». Векторы могут рассматриваться как матрицы, состоящие из одного столбца (или строки).

В пакете MathCAD кроме матриц имеется особый класс переменных, который часто используется для замены так называемых управляющих структур (циклов). Этот класс носит название дискретные переменные. Эти переменные задаются двумя способами.

Способ 1. Используется для задания фиксированных целочисленных значений. Шаблон имеет вид:

Name:= Nbegin.. Nend,

где Name – имя переменной, Nbegin – ее начальное значение, Nend – конечное значение, «..» – символ, указывающий на изменение переменной в заданных пределах (вводится клавишей «;»). Если Nbegin < Nend, то шаг переменной будет равен +1, иначе –1.

Способ 2. Применяется при записи дискретной переменной в виде чисел с определенным шагом, меняющихся от начального значения до конечного

Name:= Nbegin, (Nbegin + Step).. Nend,

где Step – заданный шаг изменения переменной (он должен быть положительным, если Nbegin < Nend, или отрицательным в обратном случае).

Дискретные аргументы значительно расширяют возможности MathCAD, позволяя выполнять многократные вычисления или циклы с повторяющимися вычислениями, формировать векторы и матрицы.

Массив – имеющая уникальное имя совокупность конечного числа числовых или символьных элементов, упорядоченных некоторым образом и имеющих определенные адреса [9]. В пакете MathCAD используются массивы двух наиболее распространенных типов:

- одномерные (векторы);

- двумерные (матрицы).

Порядковый номер элемента, который является его адресом, называется индексом. Индексы могут иметь только целочисленные значения. Они могут начинаться с нуля или единицы, в соответствии со значением системной переменной ORIGIN (см. Приложение В).

Матричные вычисления в MathCAD можно условно разделить на три основных типа.

К первому относятся элементарные действия над матрицами, такие как создание, извлечение из них данных, умножение, сложение или скалярное произведение (в случае векторов). Для их реализации служат специальные операторы трех панелей семейства Math (математические): Calculator (калькулятор), Matrix (матричные) и Symbolic (символьные).

Ко второму типу относятся такие матричные преобразования, которые требуют использования специальных функций и встроенных алгоритмов матричной алгебры, таких как, например, функции вычисления определителя, матричных норм или сортировки элементов векторов по возрастанию. Функции этой группы можно найти в категории Vector and Matrix (Векторные и матричные) у мастера функций.

К третьему типу матричных вычислений следует отнести задачи, решить которые можно только используя возможности системы программирования MathCAD. В языках программирования начальные индексы массивов обычно равняются нулю. Следует запомнить, что по умолчанию в MathCAD индексы строк и столбцов также отсчитываются с нуля. В том случае, если такая система неудобна или непривычна, можно изменить точку отсчета индексов на единицу, задав системную переменную так:ORIGIN: = 1.

Доступ к элементам вектора или матрицы осуществляется с помощью индексированных переменных [1]. Например, чтобы использовать пятый элемент вектора с именем А, нужно записать

этот элемент в виде: А5. Для того, чтобы взять элемент матрицы В, расположенный на пересечении 3-ей строчки и 4-го столбца нужно записать: В 3 4.

Для задания индексов на панели Matrix предусмотрена специальная кнопка Subscript (Индекс). Перейти к записи индекса можно также с помощью клавиши «[» (левая квадратная скобка).

Нажав ее, вы увидите, что на месте будущего индекса, чуть ниже текста имени матрицы, появится черный маркер. В него через запятую следует ввести значения индексов. На первом месте при этом должен стоять номер строки, а на втором – столбца.

В системе MathCAD предусмотрены различные возможности задания векторов и матриц. К ним относятся следующие возможности.

1. Определение матрицы последовательным заданием каждого элемента.

2. С помощью индексированных переменных.

3. С использованием команды Insert^Matrix, либо с помощью соответствующей кнопки панели Matrix.

4. Задание с помощью элементов программирования.

5. Применение встроенных функций.

6. Через связь с другим приложением, например Excel.

7. Создание таблицы данных.

8. Чтение из внешнего файла.

Рассмотрим некоторые из них. Определение матрицы последовательным заданием каждого элемента очевидно и не требует пояснений. При создании матрицы или вектора с помощью индексированной переменной следует исходить из того, что любая индексированная переменная, индексами которой являются переменные, принимающие целочисленные значения из некоторого промежутка, уже представляют собой вектор или матрицу.

Далее представлены примеры, в которых представлены основные команды для работы с матрицами в пакете MathCAD.

Пример 2.1. Требуется сформировать вектор x, состоящий из 6 элементов. Элементам этого вектора присвоить значения индексов.

Решение. Предоставим два варианта решения этой задачи. 1. С помощью индексированной переменной. Для того чтобы сформировать вектор, воспользуемся вспомогательной переменной, которая будет играть роль индекса (например, i), а затем будем использовать эту переменную для здания элементных значений векторах. Формирование вектора представлено на рис. 2.1.

2. С помощью команды Inserts-Matrix. Формирование вектора x будем производить с помощью команды Matrix. Для этого сначала напишем оператор присваивания: «х =», а затем выполним команду Matrix. Эта команда открывает диалоговое окно «Insert Matrix», которое представлено на рис. 2.2, в котором необходимо указать число строк и число столбцов. В нашем примере число строк равно 6, а число столбцов равно 1.

После нажатия кнопки «OK» команда предоставит шаблон с шестью ячейками, в которые следует вписать значения элементов вектора.

 

 

Пример 2.2. В файле с именем «int(4_4).txt» записаны числа в виде матрицы четыре строчки по четыре элемента, разделенными пробелами. В файле с именем «int(4_1).txt» записаны числа в столбик. Требуется прочитать эти данные в матрицу Q и вектор P.

Решение. Для чтения данных из файла в матрицу/вектор можно воспользоваться функцией READPRN, которая имеет один параметр – имя файла. Фрагмент с решением представлен на рис. 2.3.

С матрицами могут производиться как численные, так и символьные вычисления. Операции с матрицами в системе MathCAD обозначаются так, как это принято в математике: «-» – разность, «+» – сумма, «*» – произведение и др.

Ниже представлено описание специализированных команд, расположенных на панели инструментов Matrix.

X -1 – получить обратную матрицу,

X – вычислить детерминант,

MT – транспонирование матрицы,

M < > – из матрицы взять вектор столбец,

åv – получить сумму элементов,

x y × – скалярное произведение векторов,

x ´ y – векторное произведение векторов.

Система MathCAD также представляет большое количество функций для работы с векторами и матрицами. Воспользоваться этими функциями можно с помощью мастера функций f(x).

На рис. 2.4 представлены вычисления с использованием операций над матрицами.

Пример 2.3. Требуется сформировать диагональную квадратную матрицу с (6 x 6). Значения элементов главной диагонали должны совпадать с номером строки/столбца.

Решение. Для получения диагональной матрицы в системе предусмотрена функция diag, которая имеет один параметр – вектор диагональных элементов. Поэтому формирование матрицы начинается с создания вспомогательного вектора, в который занесем элементы для диагонали. Для формирования этого вспомогательного вектора (например, с именем s), воспользуемся вспомогательной переменной, которая будет играть роль индекса (например, i). Тогда формирование диагональной матрицы может быть получено в результате операций, как это показано на рис. 2.5.

Пример 2.4. Даны две матрицы A и В с размерностями 4.3 и 4.2 соответственно. Требуется объединить эти матрицы в одну матрицу C (4. 5), причем, первыми столбцами новой матрицы должны быть столбцы матрицы А, а справа от этих элементов следовать столбцы матрицы В (методом «дописывания справа»).

Решение. Для соединения двух матриц в одну матрицу можно использовать функцию augment, параметрами которой будут являться имена соединяемых матриц, как это показано на рис. 2.6.

 

Пример 2.5. Даны две матрицы A с размерностью 2.3 и В с размерностью 3.3. Требуется объединить эти матрицы в одну матрицу С (5.3), так чтобы в новой матрице в качестве первых строк располагались строки матрицы А, а за ними должны следовать строки матрицы В.

Решение. Для соединения двух матриц в одну матрицу по правилу «друг под другом» можно использовать функцию stack, параметрами которой будут являться имена соединяемых матриц, как это показано на рис. 2.7.

Пример 2.6. Дана матрица A с размерностью 5.5. Требуется получить из этой матрицу подматрицу, в которую включить элементы, расположенные в строках, начиная с номера 2 по номер 4, и столбцах, начиная с номера 0 по номер 5.

Решение. Для выделения подматрицы с номерами столбцов и строк представленными граничными значениями предусмотрена функция submatrix. Эта функция имеет пять параметров: имя матрицы, из которой производится выбор; начальный номер строки выбора; конечный номер строки выбора; начальный номер столбца выбора; конечный номер столбца выбора. Возможное решение представлено на рис. 2.8.

Пример 2.7. Дана матрица A (3.3). Требуется получить из заданной матрицы A два вектора. Первый вектор B должен совпадать с четвёртым столбцом матрицы А, второй вектор С – с третьей строкой матрицы А.

Решение. Для получения векторных значений можно воспользоваться командой М< > (из матрицы взять вектор-столбец), которая расположена на панели «Matrix». Для получения первого вектора эту команду нужно применить непосредственно к матрице А, а для получения второго вектора нужно сначала получить из матрицы А транспонированную матрицу, а только потом воспользоваться командой «взять столбец». Возможное решение представлено на рис. 2.9.

Пример 2.8. Из матрицы А (6. 6) выделить минор, который образуется в результате вычеркивания из этой матрицы нулевой строчки и третьего столбца.

Решение. Решение задачи можно свести к соединению двух подматриц, выделенных из матрицы А, как это показано на рис. 2.10.

Использование матриц специального вида для выполнения матричных операций в системе MathCAD. Известно, что в результате умножении матрицы на вектор получается вектор. Причем, каждый i- й элемент этого вектора-результата представляет собой сумму попарных произведений соответствующих элементов i -й строки матрицы на элементы вектора-сомножителя. Очевидно, если в векторе, на который умножается матрица, все элементы равны нулю, а один элемент равен единице, то результатом такого произведения будет число, соответствующее тому элементу i- ой строки матрицы, где векторным сомножителем будет единица. Такой вывод можно использовать для выделения (формирования) из матрицы нужного столбца.

Пример 2.9. Дана матрица A (4x4). Требуется получить из этой матрицу два вектора. Первый вектор должен совпадать с нулевым столбцом матрицы А, а второй – с 3-м столбцом матрицы А.

Решение. Для получения новых векторов сформируем два вспомогательных вектора: вектор B 1– с единичным значением в строке с номером 0, а второй вектор В 2 – с единичным значением в строке с номером 3. Тогда для получения векторов в соответствии с условием задачи достаточно умножить матрицу А справа на векторы В 1 и В 2, как это показано на рис. 2.11.

Аналогичным образом можно получить вектор-строку из матрицы. Для этого достаточно сформировать вспомогательный вектор-строку, у которой все компоненты равны нулю, а одна компонента, номер которой соответствует номеру выделяемой строки из матрицы, равна единице. Если этот вектор умножить слева на матрицу, то в результате будет получена нужная строка.

Пример 2.10. Дана матрица A (4.4). Требуется переставить в матрице строки с номерами 0 и 1.

Решение. Для преобразования исходной матрицы требуется подготовить вспомогательную матрицу. Во вспомогательной матрице местоположение единиц в строках должно соответствовать нужному порядку для расположения строк в новой матрице. После этого решение можно получить простым перемножением матриц (рис. 2.12).

 

Пример 2.11. Дана матрица (4.4). Требуется найти сумму элементов в третьем столбце матрицы.

Решение. Для решения задачи требуется подготовить вспомогательный вектор-строку из единичных элементов и выполнить умножение (рис. 2.13).

Пример 2.12. Дана матрица: A (4.4). Требуется получить вектор, элементы которого будут представлять суммы элементов в столбцах матрицы.

Решение. Для решения требуется подготовить вспомогательный вектор-строку из единичных элементов и выполнить умножение (рис. 2.14).