Тема. Вторая производная, ее геометрический и физический смысл. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой и графиком

Группа 1С-46/ТЭ-49

Задание:

1. Изучить теоретические сведения и составить конспект.

2. Выполнить задания.

3. Выполненные задания сфотографировать и отправить на электронную почту tryufelka83@mail.ru или в ЛС социальной сети VKontakte.

4. Выполненные задания сдать до: 06.05

 

Учебник: Алимов Ш.А. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни).10—11 классы. — М., 2014.

 

Ссылка на учебник онлайн:

https://uchebnik-skachatj-besplatno.com/Алгебра/Учебник%20Алгебра%2010-11%20класс%20Алимов%20Колягин/index.html#prettyPhoto

 

С. 283-286

 

Если производная f '(x) функции f(x) дифференцируема в точке x₀, то её производная называется второй производной функции f(x) в точке _x0, и обозначается f''(x₀). Проще говоря, вторая производная — это производная от первой производной.

Задание. Найти производную второго порядка функции

Решение. Для того чтобы найти вторую производную, cначале надо найти производную первого порядка:

 Согласно свойству линейности, имеем:

Тогда искомая вторая производная:

 

Ответ:

 Физический смысл производной второго порядка: Пусть тело движется прямолинейно по некоторому закону s. Тогда вторая производная от пути по времени есть ускорение прямолинейного движения в данный момент времени: a= s'' или a = v' =s''.

Пример. Прямолинейное движение точки совершается по закону: s=(t³—2) м. Определить ускорение в момент t = 10 сек.

Решение. Ускорение а=s''.

а =((t ³ — 2)')'= (3t²-0)' = 6t

Следовательно, a(10)= 6t = 6*10 = 60; a = 60 м/сек².

Ответ: 60 м/сек².

 

Вторая производная f" (x) имеет также важное значение в анализе и в геометрии; в самом деле, представляя собой скорость изменения наклона f (х) кривой y = f (x), вторая производная дает указание на то, как изогнута кривая.

Функция f(x) называется выпуклой на интервале (a, b), если её график на этом интервале лежит ниже касательной, проведенной к кривой y=f(x) в любой точке (x₀, f(x₀)), x₀ ϵ(a, b). Функция f(x) называется вогнутой на интервале (a, b), если её график на этом интервале лежит выше касательной, проведенной к кривой y = f(x) в любой точке (x₀, f(x₀)), x₀ϵ(a, b).

Достаточное условие вогнутости (выпуклости) функции.

Пусть функция f(x) дважды дифференцируема (имеет вторую производную) на интервале (a, b), тогда:

1) если f ''(x)>0 для любого x ϵ (a, b), то функция f(x) является вогнутой на интервале (a, b);

2) если f '' (x)<0 для любого x ϵ (a, b), то функция f(x) является выпуклой на интервале (a, b).

Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба x₀ существует вторая производная f ''(x₀), то f''(x)=0.

 

 

 

 

 

 

Правило нахождения точек перегиба графика функции y=f(x)

1) Найти вторую производную f″.

2) Найти точки, в которых вторая производная f″ обращается в нуль или терпит разрыв.

3) Исследовать знак второй производной f″ на каждом промежутке, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x). Если при этом критическая точка x₀ разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений, то x₀ является абсциссой точки перегиба графика функции.

4) Вычислить значения функции в точках перегиба.

Общая схема для построения графиков функций

Пример: Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции f(x)=6x ² -x ³.

 Решение:

1. Находим f′=(6x² -x³)′= 12x-3x², f″(x)=(12x-3x²)′ = 12-6x.

2. Найдем критические точки по второй производной, решив уравнение: 12-6x=0, x=2

3.

x	(-∞;2)	2	(2; +∞)
f″(x)	+	0	-
f(x)	∪	точка перегиба	∩

4. f(2)=6·22-23=16

Ответ: Функция выпукла вверх при x∈ (2;+∞); функция выпукла вниз при x∈ (-∞;2); точка перегиба (2;16).

 

Задание. Найдите точки перегиба следующих кривых.

1.

2.

3.