2020-05-21
239
v Интервалы монотонности.
Функция называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если в этом интервале каждому большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции. Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными.
Правило нахождения интервалов монотонности:
- найти нули и точки разрыва f ’(x);
- определить методом проб знак f ’(x) в интервалах, на которые полученные в п.1 точки делят область определения функции f (x);
- интервалы в которых f ’(x) > 0, являются интервалами возрастания функции, а интервалы в которых f ’(x) < 0, - интервалами убывания функции. При этом если на двух соседних интервалах, граничная точка которых является нулем производной f ’(x), знак f ’(x) одинаков, то они составляют единичный интервал монотонности.
v Экстремум функции.
Точка х = х0 называется точкой максимума (минимума) функции y = f(x), если существует такая окрестность точки х0, что для всех х (х ¹ х0) этой окрестности выполняется неравенство:
f(x) < f(x0), [f(x) > f(x0)].
|
|
|
Точками максимума и минимума функции называются точками ее экстремума, а значение функции в точке максимума (минимума) - максимумом (минимумом) или экстремумом функции.
Правило отыскания экстремумов функции:
- найти нули и точки разрыва f ’(x);
- определить методом проб знак f ’(x) в интервалах, на которые полученные в п.1 точки делят область определения функции f (x);
- из этих точек выделить те, в которых функция f(x) определена и по разные стороны от каждой из которых производная f ’(x) имеет разные знаки – это и есть экстремальные точки; при этом экстремальная точка х = х0 является точкой максимума если в этой точке происходит смена знака с «+» на «-», и точкой минимума – с «-» на «+».
v Общая схема исследования функции и построение ее графика.
1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на четность или нечетность; проверить так же не является ли она периодической.
3. Найти точки пересечения функции с осями координат.
4. Найти интервалы знакопостоянства.
5. Найти интервалы монотонности, ее экстремумы.
6. Построить график функции, используя полученные результаты.
ПРИМЕР:
Пример 1. Исследовать функцию и построить график.
1) Область определения (это множество тех значений, которое может принимать аргумент, т.е. х).
х – любое.
Исследовать функцию у = х2 – 5х + 6 и построить ее график.
1. О.о.: х Î (- ¥; + ¥)
2. f(- x) = (- x)2 – 5(- x) + 6 = х2 + 5х + 6 Þ функция нечетная; непереодичная.
3. Точки пересечения с осями координат:
- с осью Оу: х = 0, 02 – 5*0+6 = 0 Þ у = 6
- с осью Ох: у = 0, х2 – 5х + 6 = 0
Д = (- 5)2 – 4*1*6 = 25 – 24 = 1
|
|
|
х1 = 3, х2 = 2
4. Найдем интервалы знакопостоянства:
У’ = 2x – 5
2x – 5 = 0
x = 2,5
5. Интервалы монотонности:
f(x) возрастает при х Î (2,5; + ¥)
f(x) убывает при х Î (- ¥; 2,5)
6. Экстремумы:
Хmin = 2,5 Ymin = 2,52 – 5 * 2,5 + 6 = - 0,25
7. График:
7)График.
