2020-05-21
150
О: Функция y = f(x) называется непрерывной в точке х = а, если существует предел функции в этой точке, который равен значению функции в этой точке, т.е. 
.
Примером непрерывной функции может служить любая элементарная функция, которая непрерывна в каждой точке своей области определения.
Точка х = а называется точкой разрыва функции y=f(x), если эта функция определена в некоторой окрестности точки х = а, но в самой точке х = а не удовлетворяет условию непрерывности.
Точки разрыва функции делятся на два типа. К точкам разрыва I рода относятся такие точки, в которых существуют конечные односторонние пределы: 
( левый предел ) и 
( правый предел ). К точкам разрыва II рода относятся те точки, в которых хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен.
Задание 4. Исследовать данную функцию на непрерывность и построить ее график
Решение:Функция 
является неэлементарной, так как на разных интервалах представлена различными аналитическими выражениями. Эта функция определена на интервалах (-∞;0), (0;2) и (2; +∞), где она задана непрерывными элементарными функциями. Внутри каждого интервала указанные элементарные функции не имеют точек разрыва, следовательно, разрыв возможен только в точках перехода от одного аналитического выражения к другому, т.е. в точках х1 = 0 и х2 = 2.
|
|
|
Для точки х1 = 0 имеем:
Так как 
, то функция в точке х1 = 0 имеет разрыв первого рода.
Для точки х2 = 2 находим:
Так как 
, то функция в точке х2 = 2 имеет разрыв первого рода.
График данной функции изображен на рис. 1.
Рис. 1.
3.3 Производная, геометрический смысл.
Основные правила дифференцирования
а) c’ = 0; б) (и ± υ)’ = и’ ± υ’; в) (иυ)’ = и’υ + иυ’; г) 
д) дифференцирование сложной функции, если 
, 
то 
- сложной функция. Тогда, 
или 
Здесь c = const, а и и υ - дифференцируемые функции.
Таблица производных основных элементарных функций
Пример: Найти производные следующих функций:
Решение. 1) Запишем данную функцию следующим образом:
.
Тогда
2) Имеем
3) Имеем
4) Имеем
5) Имеем
;
Геометрическое приложение производной.
Производная функции y = y (x) при данном значении аргумента x = x0 равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику этой функции в точке с абсциссой x0. (См. рис.):
y' (x0)=tg α. (1)
Уравнение прямой к графику функции
|
|
|
y = y (x) в точке М0 (x0; y0) имеет вид
y - y0 = y ’(x0) (x - x0). (2)
Если y (x) имеет при x = x0 бесконечную производную, то уравнение касательной таково:
x = x0. (3)
Уравнение нормали, т.е. прямой, проходящей через точку касания М0 (x0; y0) перпендикулярно касательной, записывается в виде
(4)
Пример: Составить уравнение касательной и нормали к параболе y = 2 x 2 - 6 x + 3 в точке М0 (1; -1).
Решение. Найдём производную функции y = 2 x 2 - 6 x + 3 при x = 1. Имеем y ’ = 4 x - 6, откуда y ’ (1) = -2.
Воспользовавшись уравнением (2), получим искомое уравнение касательной:
y - (-1) = -2 (x - 1), или 2 x + y - 1 = 0.
Уравнение нормали получим, используя уравнение (4):
, или x - 2 y - 3 = 0.
