Математика 10 класс
Урок 11 – 12
Лекция
Понятие вектора, основные связанные понятия
С понятием вектора на плоскости вы уже сталкивались: есть такие величины, для которых важно не только численное значение, но и направление, например, сила, скорость и т. д. Такие величины называются векторными или просто векторами. В математике вектор изображается в виде направленного отрезка. То есть, если задан отрезок и сказано, что точка – его начало, а – конец, то говорят, что задан вектор или вектор :
Рис. 1. Вектор
Определение
Вектором называется направленный отрезок, он имеет направление и величину.
Длина вектора соответствует длине отрезка, задающего этот вектор.
Теперь нужно ввести некоторые понятия, а именно: какие вектора называются равными, ввести операции сложения, вычитания, умножения на число и т. д.
Теперь введем второй вектор , обозначим его как вектор :
Рис. 2. Коллинеарные векторы и
Если прямые и параллельны (или совпадают), то векторы и коллинеарны.
|
|
Коллинеарные векторы могут быть противонаправлены: (рис. 2) или сонаправлены ().
Определение
Равными называются коллинеарные сонаправленные векторы, длины (модули) которых равны.
Имеем вектор и вектор :
Рис. 3. Равные векторы
Заданные векторы равны, т. к. они коллинеарны, сонаправлены и их длины равны:
Существует также нулевой вектор (), т. е. вектор нулевой длины, он изображается точкой.
Проводя аналогию с числами: мы знали число и противоположное ему число , это были такие числа, сумма которых равна нулю:
Аналогичное понятие существует и для векторов (рис. 4).
Рис. 4. Противоположные векторы
Задана точка и два вектора: и . Эти векторы имеют одинаковую длину (), принадлежат одной прямой – коллинеарны – и противонаправлены. Такие векторы в сумме составляют нулевой вектор:
Кроме того:
С физической точки зрения это можно представить следующим образом: если с равной силой тянуть предмет одновременно в две противоположные стороны, то он никуда не сдвинется.
Перейдем к векторам в пространстве. Рассмотрим задачу.
Векторы в прямоугольном параллелепипеде, решение задачи
Задача 1
Измерения прямоугольного параллелепипеда известны: . найдите длины векторов: , , , , ,
Рассмотрим чертеж (рис. 5).
Рис. 5. Прямоугольный параллелепипед
Напомним основные важные факты о прямоугольном параллелепипеде:
1. Боковое ребро перпендикулярно плоскости основания – параллелепипед прямой ();
2. Боковые грани прямого параллелепипеда прямоугольники, в основании может лежать параллелограмм;
3. Если в основании прямого параллелепипеда лежит прямоугольник, то такой параллелепипед называется прямоугольным ( – прямоугольник);
|
|
4. Прямоугольный параллелепипед полностью задается тремя измерениями: ширина (), длина (), высота ().
Итак, найдем длину вектора . Он равен векторам и равен высоте параллелепипеда, которая задана по условию: 12 см. . Чтобы решить данную задачу, нужно понимать, какие векторы называются равными.
Вектор : отрезок имеет такую же длину, как отрезок : .
Вектор : отрезок имеет такую же длину, как отрезок : .
Вектор : отрезок – это диагональ боковой грани параллелепипеда. Ее длина соответствует длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами и . Можем найти длину гипотенузы по теореме Пифагора: ; .
Вектор : отрезок – это диагональ основания параллелепипеда. Ее длина соответствует длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами и . Можем найти длину гипотенузы по теореме Пифагора: ;
Вектор : отрезок – это диагональ параллелепипеда. Ее длина соответствует квадратному корню из суммы квадратов всех измерений параллелепипеда: ; .