Системы координат и векторы

11 12 13 14 15 16 17

Содержание

Лекция: Геометрические преобразования

Вопросы и упражнения

1. Расположите в убывающем порядке чувствительность рецепторов глаза к цветам: красный, зеленый, синий.

2. Что такое хроматический спектр?

3. Что такое ахроматический спектр?

4. Как осуществляется проекция трехмерного цветового пространства на плоскость?

5. Чем отличается цветовой график МКО от треугольной проекционной области цветового пространства?

6. Что такое дополнительный цвет?

7. Что такое аддитивная и субстрактивная цветовые модели? Чем отличаются их цветовые кубы?

8. Что является основой цветовой модели HSV и HLS?

9. Являются ли цветовые модели HSV и HLS аддитивными или субстрактивными?

10. Постройте алгоритм преобразования модели RGB в HSV.

11. Постройте алгоритм преобразования модели RGB в HLS.

12. В чем состоит главное достоинство цветового пространства Luv?

13. В чем состоит главное достоинство цветового пространства Lab?

----------------------------

-----------------------------

Системы координат и векторы
Уравнения прямой и плоскости
Аналитическое представление кривых и поверхностей
Пересечение луча с плоскостью и сферой
Интерполяция функций одной и двух переменных
Матрицы
Геометрические преобразования (перенос, масштабирование, вращение)
Переход в другую систему координат
Задача вращения относительно произвольной оси
Вопросы и упражнения

Для дальнейшего изложения нам понадобятся некоторые сведения из аналитической геометрии и линейной алгебры. Не ставя перед собой задачу подробного рассмотрения всех этих вопросов, приведем (или напомним) те основные понятия и операции, которые используются в алгоритмах компьютерной графики.

Две взаимно перпендикулярные пересекающиеся прямые с заданным масштабом образуют декартову прямоугольную систему координат на плоскости. Точка пересечения O называется началом координат, прямые называются осями координат. Одну из осей называют осью OX, или осью абсцисс, другую - осью OY, или осью ординат. Эти оси также называют координатными осями.

Возьмем произвольную точку на плоскости с заданной системой координат. Пусть и - проекции этой точки на оси абсцисс и ординат соответственно, причем длина отрезка равна , а длина равна . Тогда пара чисел называется декартовыми координатами точки на плоскости (абсциссой и ординатой точки).

Три взаимно перпендикулярные пересекающиеся прямые с заданным масштабом образуют декартову прямоугольную систему координат в пространстве. Так же как и в случае плоскости, точка пересечения O называется началом координат, прямые называются осями координат. Одну из осей называют осью OX, или осью абсцисс, другую - осью OY, или осью ординат, третью - осью OZ, или осью аппликат.

Пусть , и - проекции произвольной точки в пространстве на оси абсцисс, ординат и аппликат соответственно, причем длина отрезка равна , длина равна , а длина равна . Тогда тройка чисел называется декартовыми координатами точки в пространстве (абсциссой, ординатой и аппликатой точки).

Рис. 3.1. Система координат на плоскости

Рис. 3.2. Система координат в пространстве

Пусть на плоскости задана декартова система координат. Возьмем две точки с координатами и соответственно. Тогда, используя теорему Пифагора, можно получить, что расстояние между этими двумя точками выражается формулой

Расстояние между двумя точками в пространстве с координатами и выражается аналогичной формулой:

Отрезок на плоскости и в пространстве задается с помощью двух точек, указывающих его границы. Геометрическим вектором, или просто вектором в пространстве, будем называть отрезок, у которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая - концом (т.е. указано направление вектора). Начало вектора называют точкой его приложения. Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых. Векторы считаются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Таким образом, все векторы, получающиеся параллельным переносом из одного и того же вектора, равны мeжду собой. Любая точка на плоскости и в пространстве может рассматриваться как вектор, начало которого совпадает с началом координат (радиус-вектор), а каждый вектор, перенесенный в начало координат, задает своим концом единственную точку пространства. Поэтому любой вектор может быть представлен совокупностью своих координат в декартовой системе.

Линейными операциями над векторами принято называть операции сложения векторов и операцию умножения вектора на число.

Суммой двух векторов и называется вектор, идущий из начала вектора в конец вектора , при условии, что вектор приложен к концу вектора .

Перечислим основные свойства операции сложения векторов:

Существует нулевой вектор , такой, что для любого вектора .
Для каждого вектора существует противоположный ему вектор , такой, что .

Разностью двух векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором дает вектор .

Произведением вектора на число называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину и направление, совпадающее с направлением вектора при и противоположное направлению при . Геометрический смысл умножения вектора на число состоит в том, что длина вектора увеличивается в раз.

Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами:

(распределительное свойство числового сомножителя относительно суммы векторов);
(распределительное свойство векторного сомножителя относительно суммы чисел);
(сочетательное свойство числовых сомножителей);
если вектор коллинеарен ненулевому вектору , то существует вещественное число , такое, что .

Линейной комбинацией векторов и называется вектор . При этом числа и называются коэффициентами разложения вектора по векторам и .

Если два вектора и заданы своими координатами и , то операции над ними легко выразить через эти координаты:

Векторы , и называются компланарными, если они лежат в одной плоскости.

Векторы называются линейно независимыми, если равенство нулю их линейной комбинации возможно только в случае равенства нулю коэффициентов и .

Справедливы следующие свойства:

Каковы бы ни были неколлинеарные векторы и , для любого вектора , лежащего в одной плоскости с ними, существуют числа и , такие, что , причем такая пара чисел для каждого вектора единственная. Такое представление вектора называется разложением по векторам и .
Каковы бы ни были некомпланарные векторы , и , для любого вектора существуют числа , и, такие, что , причем эта тройка чисел для каждого вектора - единственная (разложение вектора по векторам ).
Любые три вектора в системе координат плоскости являются линейно зависимыми.
Любые четыре вектора в системе координат пространства являются линейно зависимыми.

Говорят, что пара линейно независимых векторов на плоскости (тройка линейно независимых векторов в пространстве) образуют базис, поскольку любой вектор может быть представлен в виде линейной комбинации этих векторов. Коэффициенты разложения вектора по базисным векторам называются координатами вектора в этом базисе. Если векторы базиса взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину, то базис называется ортонормированным, а векторы базиса называются ортами. Таким образом, базис из единичных векторов, направленных вдоль осей декартовой системы координат, является ортонормированным.

Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Будем обозначать скалярное произведение векторов символом . Тогда скалярное произведение можно выразить формулой

Несложно доказать следующие свойства данной операции.

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы ортогональны.
Если угол между двумя векторами острый, то скалярное произведение этих векторов положительно, если же угол тупой, то скалярное произведение отрицательно.
(свойство коммутативности).
(сочетательное относительно числового множителя свойство).
(распределительное относительно суммы векторов свойство).
Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату длины вектора.

Приведем некоторые формулы, связанные с разложением вектора в декартовой системе координат.

Пусть векторы и заданы своими координатами и . Тогда их скалярное произведение может быть вычислено по формуле

(3.1)

Отсюда следует условие перпендикулярности векторов:

И, наконец, косинус угла между векторами вычисляется по формуле

(3.2)

Теперь расстояние между двумя точками с координатами и можно выразить через скалярное произведение соответствующих векторов:

Введем еще одно понятие, касающееся векторов. Три вектора называются упорядоченной тройкой, если указано, какой из этих векторов является первым, какой - вторым и какой - третьим. При записи тройки векторов будем располагать эти векторы в порядке их следования. Так, запись означает, что первым вектором тройки является вектор , вторым - , третьим - .

Тройка векторов называется правой (левой), если после приведения к общему началу вектор располагается по ту сторону от плоскости, содержащей векторы , , откуда кратчайший поворот от к кажется совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке).

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , обозначаемый символом и удовлетворяющий следующим требованиям:

длина вектора равна произведению длин векторов , на синус угла между ними, т.е.

вектор ортогонален векторам , ;
вектор направлен так, что тройка векторов является правой.

Приведем (без доказательства) основные свойства векторного произведения.

(антисимметричность);
(сочетательное свойство относительно умножения на число);
(распределительное свойство относительно сложения);
для любого вектора .

Ясно, что векторное произведение двух коллинеарных векторов дает нулевой вектор. Выведем теперь формулy для векторного произведения. Пусть базисные векторы декартовой системы координат образуют правую тройку. Тогда справедливы следующие соотношения: