Классическое определение вероятности

РАЗДЕЛ 11. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

ТЕМА: Событие, вероятность события

Цель занятия: изучить основные понятия теории вероятностей, классического и статистического определения вероятности; научиться определять случайные, достоверные, невозможные события.

Порядок выполнения работы:

1) Изучить теоретический материал, составить конспект в тетради;

2) В течение пары выполнить задания по материалу лекции (решить в тетради и выслать фотографии или документ преподавателю в социальной сети или на личную почту);

Контакты преподавателя: Arina_Kozlova96@mail.ru; https://vk.com/rina1996

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ

Рассмотрим пример:

В корзине лежат клубки ниток зеленого и белого цвета. Бабушка просит внучку достать ей клубок ниток и, внучка наугад из корзины вынимает один клубок. Какое из следующих событий может произойти?

Варианты ответов:

1) вынутый предмет окажется клубком

2) вынутый предмет окажется красным клубком

3) вынутый предмет окажется зеленым клубком

4) вынутый предмет не окажется клубком

Ответ: первое и третье.

Теория вероятностей – раздел математики, изучающий случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Рассмотрим некоторые ключевые понятия, которые используются в теории вероятностей.

Определения.

· Испытанием называется осуществление определенных действий.

· Под событием понимают любой факт, который может произойти в результате испытания.

· Любой результат испытания называется исходом.

· Достоверным называют событие, которое в результате испытания обязательно произойдёт.

· Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдёт в результате испытания.

События обычно обозначаются заглавными буквами латинского алфавита (А, В, С, D,…).

Рассматривая приведенный пример, мы можем сформулировать следующие заключения:

1) Процесс доставания предмета из коробки является испытанием.

2) Результат доставания предмета из корзины является событием.

3) Событие «вынутый предмет окажется клубком» является достоверным событием.

4) События «вынутый предмет не окажется клубком» или «вынутый предмет окажется красным клубком» являются невозможными событиями.

5) Событие «вынутый предмет окажется зеленым клубком» является вероятным событием.

А={вынутый предмет оказался клубком}.

В={вынутый предмет не оказался клубком}.

С={вынутый предмет оказался зеленым клубком}.

D ={вынутый предмет оказался красным клубком}.

Определение.

Если события НЕ могут произойти одновременно в одном испытании, то события называются несовместными.

Например, при бросании монеты не могут одновременно выпасть «Орёл» и «Решка».

Простейшим примером несовместных событий является пара противоположных событий.

Противоположное событие происходит тогда, когда исходное событие А не происходит.

Событие, противоположное данному, обычно обозначается той же латинской буквой с чёрточкой сверху.

Например:

· A – сдал экзамен по математике;

· Ᾱ – не сдал экзамен по математике.

Определение.

Полной группой событий называется такая система событий, что в результате испытания непременно произойдет одно и только одно из них.

ПРИМЕР:

Монету подбросили дважды. Укажите все элементарные события полной группы событий.

Элементарными событиями являются:

- Выпало два «орла»

- Выпало две «решки»

- Выпал один «орел» и одна «решка».

Чтобы выяснить, насколько вероятно то или иное случайное событие, нужно подсчитать, как часто оно происходит.

Определение.

Число испытаний, в которых событие наступило, назовем абсолютной частотой и обозначим n. Общее число произведенных испытаний обозначим N.

Отношение абсолютной частоты к числу испытаний n/N называется относительной частотой события.

Относительная частота показывает, какая доля испытаний завершилась наступлением данного события. Эта относительная частота и определяет вероятность случайного события. Ее еще называют статистической вероятностью события.

 

Классическое определение вероятности

Классическое определение вероятности применяется для равновозможных событий. К равновозможным (равновероятностным) относятся такие события, для которых нет никаких объективных оснований считать, что одно является более возможным, чем другие.

Например, при бросании игрального кубика события выпадения любого из очков равно возможны.

Пусть n - число всех исходов эксперимента, которые образуют полную группу попарно несовместных и равновозможных событий, m – число благоприятных событию А исходов. Тогда вероятностью события А называется число

 

ПРИМЕР. В урне находится 15 белых, 5 красных и 10 чёрных шаров. Наугад извлекается 1 шар, найти вероятность того, что он будет: а) белым, б) красным,         в) чёрным.

РЕШЕНИЕ:

Важнейшей предпосылкой для использования классического определения вероятности является возможность подсчёта общего количества исходов.

Всего в урне: 15 + 5 + 10 = 30 шаров.

Таким образом, общее число исходов: .

Рассмотрим событие:   A – из урны будет извлечён белый шар. Данному событию благоприятствуют  элементарных исходов, поэтому по классическому определению:

 – вероятность того, то из урны будет извлечён белый шар.

С другими пунктами аналогично, рассмотрим следующие события:

B – из урны будет извлечён красный шар;

C – из урны будет извлечён чёрный шар.

Событию B благоприятствует 5 элементарных исходов, а событию C – 10 элементарных исходов. Таким образом, соответствующие вероятности:

;

.

Сделаем проверку. В нашем случае события A, B, C образуют полную группу, а значит, сумма соответствующих вероятностей должна обязательно равняться единице:

ОТВЕТ: а)  б)  в)

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

Задание 1. Бросили одну игральную кость. Укажите исходы, образующие событие «выпало не меньше четырех очков». Запишите номера исходов подряд без запятых и пробелов в порядке возрастания

1. 6 очков

2. 5 очков

3. 4 очка

4. 3 очка

5. 2 очка

6. 1 очко

Задание 2. Какие из событий являются достоверными, невозможными, случайными? Заполните таблицу до конца.

Бросают два игральных кубика:

1) На кубиках выпадает одинаковое число очков

2) На кубиках выпадает разное число очков

3) Сумма очков на кубиках не превосходит 12

4) Сумма очков на кубиках равна 1

5) Сумма очков на кубиках равна 10

6) Произведение очков на кубиках равно 44

 

Случайные события	Достоверные события	Невозможные события
1) На кубиках выпадает одинаковое число очков	3) Сумма очков на кубиках не превосходит 12

 

Задание 3. Для подготовки к зачету по теории вероятностей необходимо выучить 20 билетов. Оцените шансы учеников сдать зачет по теории вероятностей. Установите соответствие между учениками и их шансами сдать зачет.

1) Кирилл выучил 10 билетов	А) Скорее не сдаст, чем сдаст
2) Анатолий выучил 7 билетов	Б) Шансы сдать и не сдать зачет одинаковы
3) Антонина выучила 17 билетов	В) Скорее сдаст, чем не сдаст

 

Задание 4. В марафоне участвуют 50 спортсменов примерно одинаковой подготовки. 5 марафонцев прибыли из Сербии, 10 марафонцев из Кении, 20 – из России, остальные из стран Евросоюза. Оцените шансы россиян победить в этом марафоне.

Задание 5. В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 7 из них встречается вопрос о производной. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику НЕ встретится вопрос о производной.

Задание 6. Папа, мама, сын и дочь бросили жребий – кому мыть посуду. Найдите вероятность того, что посуду будет мыть мама.