Дельта-функция Дирака и ее преобразование Лапласа

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Лекция 5

Интегральные уравнения типа свертки.

Уравнения

называются интегральными уравнениями Вольтерра типа свертки первого и второго рода соответственно. Здесь искомая функция, а заданные, называется ядром уравнения, а правой частью.

Предположим, что являются оригиналами, применим преобразование Лапласа и теорему о свертке, получим

Отсюда для уравнения первого рода

а для уравнения второго рода

Если эти функции являются изображениями, то их оригиналы будут решениями интегральных уравнений. Для уравнения второго рода

Можно показать, что функция

всегда имеет оригинал и, следовательно, решение уравнения второго рода всегда можно записать в виде свертки

Уравнение первого рода не всегда имеет решение.

Аналогично решаются системы интегральных уравнений типа свертки.

Пример.

Решить интегральное уравнение типа свертки

Решение.

Применяя преобразование Лапласа и теорему о свертке, получим

3) найдем оригинал по таблице, разложив предварительно изображение на сумму простейших дробей.

Дельта-функция Дирака и ее преобразование Лапласа.

Рассмотрим функцию

Ее график которой изображен на рис.1.

Рис. 1

Для любого
Пусть , тогда
Поэтому определяют функцию Дирака формально как обычную функцию

Однако интеграл от такой функции должен равняться нулю и, значит, обычной функции, удовлетворяющей этим условиям, не существует. Поэтому

функция Дирака является обобщенной функцией. Основы теории обобщенных функций как линейных непрерывных функционалов были заложены советским математиком академиком С.Л.Соболевым в 1936 г. Систематическое построение теории обобщенных функций под названием теории распределений осуществил французский математик Л.Шварц в 1950-51 г.

Рассмотрим слабый предел функции : для каждой непрерывной на функции существует предел

Поэтому с точки зрения теории обобщенных функций функция Дирака – это линейный функционал, который каждой непрерывной на функции ставит в соответствие число Записывается это так: