ПостроениЕ сечений в пирамиде

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №13

  Тема практического занятия:   Построение сечений многогранников, вычисление их площадей

Основные понятия

Правила построения сечений многогранников:

1) проводим прямые через точки, лежащие в одной плоскости;

2) ищем прямые пересечения плоскости сечения с гранями многогранника, для этого

а) ищем точки пересечения прямой принадлежащей плоскости сечения с прямой, принадлежащей одной из граней (лежащие в одной плоскости);

б) параллельные грани плоскость сечения пересекает по параллельным прямым.

Примеры построения сечений:

Пример 1.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Построим сечение, проходящее через точки M, N, L.

Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA₁D₁D.

Пересечем прямую ML (принадлежащую сечению) с ребром A₁D₁, они лежат в одной плоскости AA₁D₁D. Получим точку X₁.

Точка X₁ лежит на ребре A₁D₁, а значит и плоскости A₁B₁C₁D₁, соединим ее сточкой N, лежащей в этой же плоскости.

X₁ N пересекается с ребром A₁B₁ в точке К. Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA₁B₁B.

 

пересечем прямую ML (принадлежащую сечению) с ребром DD₁, они лежат в одной плоскости AA₁D₁D, получим точку X₂;

пересечем прямую KN (принадлежащую сечению) с ребром D₁C₁, они лежат в одной плоскости A₁B₁C₁D₁, получим точку X₃;

Точки X₂ и X₃ лежат в плоскости DD₁C₁C. Проведем прямую X₂ X₃, которая пересечет ребро C₁C в точке T, а ребро DC в точке P. И соединим точки L и P, лежащие в плоскости ABCD.

MKNTPL - искомое сечение.

Пример 2. Рассмотрим ту же самую задачу на построение сечения, но воспользуемся свойством параллельных плоскостей. Это облегчит нам построение сечения.

.

Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA₁D₁D.

.

Через точку N, проведем прямую NT параллельную прямой ML. Прямые NT и ML лежат в параллельных плоскостях по свойству параллелепипеда.

.

Пересечем прямую ML (принадлежащую сечению) с ребром A₁D₁, они лежат в одной плоскости AA₁D₁D. Получим точку X₁.

.

Точка X₁ лежит на ребре A₁D₁, а значит и плоскости A₁B₁C₁D₁, соединим ее сточкой N, лежащей в этой же плоскости.

X₁ N пересекается с ребром A₁B₁ в точке К.

.

Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA₁B₁B.

.

Проведем прямую TP через точку T, параллельно прямой KM (они лежат в параллельных плоскостях).

.

Соединим точки P и L (они лежат в одной плоскости).

.

MKNTPL - искомое сечение.

Соединим точки М и L, лежащие в плоскости  AA₁D₁D

Примеры задач.

 

1. Постройте сечение куба плоскостью проходящей через точки, указанные на рисунке

2. Постройте сечение правильной четырехугольной пирамиды плоскостью, через точки, указанные на рисунке.

 

Решение:

1)

А) проводим линию пересечения с гранью куба (АВ) Б) проводим параллельную ей (АВ)на противолежащей грани (ЕС) В) проводим ЕА Г) проводим прямую BD||EA Д) Соединяем D c C Сечение (ABDCE) построено.

А) проецируем на плоскость основания, путем центрального проецирования из вершины, точки В и С, получая точки: B’ и C’.

Б) пересекаем прямые B’C’ и BC, находим точку P’

В) пересекаем AP’ и D’C’, находим точку D”.

Г) пересекаем D”C и SD’, находим D

ABDC – сечение.

Задача 1.

Построить сечение призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки P, Q, R (точки указаны на чертеже (рис.3)).

Решение.

Рис. 3

1. Построим след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы. Рассмотрим грань АА₁В₁В. В этой грани лежат точки сечения P и Q. Проведем прямую PQ.

2. Продолжим прямую PQ, которая принадлежит сечению, до пересечения с прямой АВ. Получим точку S₁, принадлежащую следу.

3. Аналогично получаем точку S₂ пересечением прямых QR и BC.

4. Прямая S₁S₂ - след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы.

5. Прямая S₁S₂ пересекает сторону AD в точке U, сторону CD в точке Т. Соединим точки P и U, так как они лежат в одной плоскости грани АА₁D₁D. Аналогично получаем TU и RT.

6. PQRTU – искомое сечение.

Задача 2.

Построить сечение параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки M, N, P (точки указаны на чертеже (рис.4)).

Решение.

Рис. 4

1. Точки N и P лежат в плоскости сечения и в плоскости нижнего основания параллелепипеда. Построим прямую, проодящую через эти точки. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскость основания параллелепипеда.

2. Продолжим прямую, на которой лежит сторона AB параллелепипеда. Прямые AB и NP пересекутся в некоторой точке S. Эта точка принадлежит плоскости сечения.

3. Так как точка M также принадлежит плоскости сечения и пересекает прямую АА₁ в некоторой точке Х.

4. Точки X и N лежат в одной плоскости грани АА₁D₁D, соединим их и получим прямую XN.

5. Так как плоскости граней параллелепипеда параллельны, то через точку M можно провести прямую в грани A₁B₁C₁D₁, параллельную прямой NP. Эта прямая пересечет сторону В₁С₁ в точке Y.

6. Аналогично проводим прямую YZ, параллельно прямой XN. Соединяем Z с P и получаем искомое сечение – MYZPNX.

Практические задания:

Задание 1.

Практическая задания по построению сечений параллелепипеда. Приложение 1

.

ПостроениЕ сечений в пирамиде

 

 

 

 

Приложение 2

Опора-памятка

Аксиома 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и причем только одна.

Аксиома 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

Аксиома 3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Следствия из аксиом:

Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна