Криволинейное движение точки. Скорость, ускорение точки
Пусть движение задано в векторной форме . Точка движется по некоторой криволинейной траектории и ее положение определяется вектором . Пусть в момент времени положение точки определяется вектором . В момент времени , отличающейся от первоначального на бесконечно малый промежуток времени , точка занимает положение .
Таким образом, в каждый момент времени конец вектора будет находиться на траектории точки . Геометрическое место концов этих векторов, или линия, описываемая в пространстве концом вектора, начало которого находится в данной неподвижной точке, называется годографом этого вектора. Очевидно, что годографом радиуса-вектора движущейся точки является траектория этой точки. Соединим точки и прямой, тогда можно записать векторное равенство:
или ,
где есть изменение (приращение) данного вектора за время .
рис. 7
Разделив это приращение на промежуток времени , получим новый вектор, имеющий то же направление, но другую величину. Этот вектор называется средней скоростью точки за время :
|
|
Средняя скорость криволинейного движения – это скорость такого равномерного движения, при котором точка, двигаясь по хорде равномерно, попадает на траекторию в то же положение, которое она занимает через данный промежуток времени, двигаясь по траектории неравномерно.
Будем теперь приближать к нулю. При этом точка будет приближаться к точке . В пределе направление вектора (так же, как и ) совпадает с направлением касательной к траектории в точке , а модуль его равен . Предел средней скорости при называется скоростью движущейся точки в момент времени t:
Вектор скорости в данный момент времени равен векторной производной от радиуса вектора, определяющего положение точки, по времени. Вектор истинной скорости имеет направление касательной к траектории в данном положении точки.
Определим модуль вектора истинной скорости (без вывода).
…
,
где s=f(t).