Определение комбинаторики

Тема: «Комбинаторика. Правило суммы и умножения. Перестановки, размещения, сочетания.»

План

1. Понятие множества.

2. Определение комбинаторики.

3. Правила суммирования и произведения.

4. Типы соединений элементов.

4.1 Перестановки.

4.2 Размещения.

4.3 Сочетания.

5.Формирование умений и навыков в решении комбинаторных задач.

 

Цели занятия:

Образовательные:

· Ввести определение комбинаторики.

· Рассмотреть правило суммы и правило произведения комбинаторики.

· Познакомиться с понятиями размещения, перестановки и сочетания элементов.

· Научиться решать простейшие задачи по данной теме.

Развивающие:

· Развивать у обучающихся умение учебного труда.

· Развивать умение анализировать, проводить рассуждения.

· Развивать устойчивый интерес к предмету.

Воспитательные:

· Формировать умение аргументировано отстаивать свои взгляды.

· Формировать способность к взаимопомощи, работе в паре, группе, коллективе.

Задачи занятия:

· формирование и отработка преставлений о трех важнейших понятиях комбинаторики: размещения из n элементов по m, сочетания из n элементов по m, перестановки из n элементов;

· научить студентов отличать задачи на «перестановки», «сочетания», «размещения» друг от друга;

· научить применять основные комбинаторные формулы при решении простейших комбинаторных задач;

· отработка знаний и умений в ходе решения задач.

 

Понятие множества.

Одним из важнейших понятий современной математики является понятие множества. Говорят о множестве учащихся в группе, о множестве букв в алфавите, о множестве изделий в упаковке и т.д.

Понятие множества относится к первоначальным, простейшим, понятиям и формально через другие более простые понятия не определяется. Оно воспринимается конкретно, посредством знакомства с различными примерами множества. Множество характеризуется объединением некоторых однородных объектов в одно целое. Объекты, образующие множество, называются элементами множества.

Множество будем записывать, располагая его элементы в фигурных скобка

{ a, b, c, …, e, f }.

Во множестве порядок элементов роли не играет, так { a, b } = { b, a }.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается символом ø.

Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то говорят, что множество А является подмножеством множества В  

Множество { a, b } является подмножеством множества { a, b, c, …, e, f }.

 

Определение комбинаторики.

При решении многих практических задач часто приходится имеющиеся предметы (элементы) соединять в разные наборы (комбинации). Например - парфюмерные наборы, конфеты, инструменты, спортивные команды. Задачи которые рассматривают такие соединения и находится число различных соединений, называют комбинаторными.

Комбинаторикой называется область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих заданному множеству. В каждой из них требуется подсчитать число возможных вариантов осуществления некоторого действия, ответить на вопрос «сколькими способами». Комбинаторика возникла и развивалась одновременно с теорией вероятностей. И первоначально комбинаторные задачи касались в основном азартных игр.

Определение. Комбинаторика – раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов) и отношения на них.

Комбинаторика – раздел математики, который занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую. Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова «combinare», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять». Термин "комбинаторика" был введён знаменитым Готфридом Вильгельмом Лейбницем, - всемирно известным немецким учёным.

Комбинаторика является важным разделом математики, который исследует закономерности расположения, упорядочения, выбора и распределения элементов с фиксированного множества.

 

3. Правила суммирования и произведения.

При большом числе возможных последствий испытания способы прямого перебора возможных вариантов малоэффективны. На помощь приходят комбинаторные методы, в основе которых лежат два следующих правила называемых соответственно правилами умножения и сложения.

ПРАВИЛО СУММИРОВАНИЯ

Если два взаимоисключающие действия могут быть выполнены в соответствии и способами, тогда какое-то одно из этих действий можно выполнить способами.

Пример №1

Из города А в город В можно добраться 12 поездами, 3 самолетами, 23 автобусами. Сколькими способами можно добраться из города А в город В?

Решение. Проезд из А в В на поезде, самолете или автобусе являются событиями, которые не могут выполняться одновременно одним человеком (взаимоисключающими), поэтому общее количество маршрутов можно вычислить суммированием способов передвижения

N=12+13+23=38

Пример № 2

В ящике имеется n разноцветных шариков. Произвольным образом вынимаем один шарик. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. N способами.

Теперь эти n шариков распределены по двум ящикам: В первом m шариков, во втором k. Произвольно из какого-нибудь ящика вынимаем один шарик. Сколькими разными способами это можно сделать?

Решение. Из первого ящика шарик можно вытянуть m различными способами, из второго k различными способами, всего N = m + k способами.

ПРАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

Пусть две выполняемые одно за другим действия могут быть осуществлены в соответствии и способами. Тогда обе они могут быть выполнены способами.

Пример № 3

В турнире принимают участие 8 хоккейных команд. Сколько существует способов распределить первое, второе и третье места?

Решение. Первое место займет одна из 8 команд, второе - одна из 7, третье - одна из 6, так как каждая из них не может претендовать одновременно на два призовых места. Поэтому таких способов будет ровно

N=8 7 6 =336

Пример № 4

Сколько можно записать двузначных чисел в десятичной системе счисления?

Решение. Поскольку число двузначное, то число десятков (m) может принимать одно из девяти значений: 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Число единиц (k) может принимать те же значения и может, кроме того быть равным нулю. Отсюда следует, что m = 9, а k = 10. Всего получим двузначных чисел

N = m · k = 9·10 =90.

Пример № 5

В студенческой группе 14 девушек и 6 юношей. Сколькими способами можно выбрать, для выполнения различных заданий, двух студентов одного пола?

Решение. По правилу умножения двух девушек можно выбрать 14 ·13 = 182 способами, а двух юношей 6·5 = 30 способами. Следует выбрать двух студентов одного пола: двух студентов или студенток. Согласно правилу сложения таких способов выбора будет N =182 + 30 = 212.