Формирование умений и навыков в решении комбинаторных задач

При решении комбинаторных задач и выборе типа соединений важно ответить на следующие вопросы:

ü Учитывается ли порядок следования элементов в соединении?

ü Все ли элементы входят в соединение?

Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? НЕТ ДА
Все ли элементы входят в соединение? ДА НЕТ		СОЧЕТАНИЯ
ПЕРЕСТАНОВКИ Рn = n! = n · (n - 1) · (n – 2) · … · 2 · 1	РАЗМЕЩЕНИЯ

Определить к какому типу относится соединений относится задача.

1. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?

ü Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? (да)

ü Все ли элементы входят в соединение? (да)

Вывод: перестановка

 

2. В 9«Б» классе 12 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?

ü Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? (нет)

ü Все ли элементы входят в соединение? (на этот вопрос ответ не нужен)

Вывод: сочетания

 

3.  Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно  использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?

ü Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? (да)

ü Все ли элементы входят в соединение? (нет)

Вывод: размещение

Решить задачи:

1. У нас имеется 5 книг. Известно, что у нас всего одна полка, и на ней вмещается лишь 3 книги. Сколькими способами можно расставить на полке 3 книги?

Решение.

ü Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? (да)

ü Все ли элементы входят в соединение? (нет)

Вывод: размещение

n =5, m =3

2. Сколькими способами можно расставить 3 тома на книжной полке, если выбирать их из имеющихся в наличии внешне неразличимых 5 книг?

Решение.

ü  Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? (нет)

ü Все ли элементы входят в соединение? (на этот вопрос ответ не нужен)

Вывод: сочетания

n =5, m =3          

3. Сколькими способами могут занять I, II, III места 8 участниц финального забега на дистанции 100 м?

Решение.

ü  Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? (да)

ü Все ли элементы входят в соединение? (нет)

Вывод: сочетания

n =8, m =3          

 

Контрольные вопросы

1. Дайте определение множества, пустого множества.

2. Что такое комбинаторика?

3. Сформулируйте правила суммирования и произведения.

4. Какие типы соединений вы знаете?

5. Сформулируйте следующие  определения: «перестановки из n элементов», «размещения из m элементов по n элементам», «сочетаний из m элементов по n элементам».

6. В чем отличие перестановок и размещений?

7. В чем отличие размещений и сочетаний?

Литература

1. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачева М.В. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа. 10-11классы: учебник для общеобразовательных организаций: базовый и углубленный уровни/ Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, М.В.Ткачева и др. 3-е изд.- М.: Просвещение, 2016.-463с.: ил.

2. Башмаков М.И. Математика: учебник / М.И.Башмаков.- М.: КНОРУС, 2017.-394с. -(Начальное и среднее профессиональное образование).