Прием преобразования заключения (нисходящий анализ)

Нисходящим анализом (несовершенным анализом) называют такую разновидность аналитического метода, при которой, отталкиваясь от заключения P(x) рассуждения ведут путем последовательного получения логических следствий:

P(x)_→P₁(x)_→P₂(x)_→…P_n(x), где P_n(x) есть предложение, истинное значение которого нам точно известно. При выведении следствий из P(x) временно допускают, что оно истинно. При нисходящем анализе, так же как и при восходящем, рассуждения ведут от заключения теоремы, но подбирают уже не достаточные условия, а необходимые.

Выведение необходимых условий продолжают до тех пор, пока не придут к очевидному следствию, представляющему собой или условие теоремы, или ранее изученное истинное утверждение. Если окажется возможным провести рассуждения в обратном порядке, при котором условие теоремы или очевидное утверждение выступают отправной посылкой, то получим искомое доказательство.

Пример: Выполнить нисходящий анализ для доказательства теоремы: «Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то четырехугольник – параллелограмм.»

Дано: ABCD – четырехугольник,                            В                           С

Доказать: ABCD – параллелограмм.

                                                                           А                              D

Доказательство:

1. «Предположим, что ABCD – параллелограмм.»

2. «Тогда BC = AD и AB = CD.»

3. «Проведем диагональ АС. Тогда ∟ACB = ∟CAD, ∟BAC = ∟ACD как накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей.»

4. «У нас получились два равных треугольника:»ΔABC = ΔCDA, они будут равны по стороне АС и двум прилежащим к ней углам).

5. «Раз треугольники равны, то будут равными и стороны: AB = CD, AD =BC, AC = AC»

6. «Мы доказали истинность предположения, которое поставили в начале нашего доказательства. Значит мы доказали, что данный четырехугольник является параллелограммом.»

Цель нисходящего анализа – поиск доказательства. Само доказательство проводится в обратном порядке и в итоге получится синтетическое доказательство.