Свойства степени в 7 классе

Возведение в степень – это такая же математическая операция, как сложение, вычитание, умножение или деление.

Сейчас объясню все человеческим языком на очень простых примерах. Будь внимателен. Примеры элементарные, но объясняющий важные вещи.

Начнем со сложения.

2+2+2+2+2+2+2+2=16

 2+2+2+2+2+2+2+2=162+2+2+2+2+2+2+2=16

Объяснять тут нечего. Ты и так все знаешь: нас восемь человек. У каждого по две бутылки колы. Сколько всего колы? Правильно – 16 бутылок.

Теперь умножение.

Тот же самый пример с колой можно записать по-другому: 2⋅8=16\ 8=162⋅8=16. Математики - люди хитрые и ленивые. Они сначала замечают какие-то закономерности, а потом придумывают способ как быстрее их «считать». В нашем случае они заметили, что у каждого из восьми человек одинаковое количество бутылок колы и придумали прием, который называется умножением. Согласись, 2⋅8=16\displaystyle 2\cdot 8=162⋅8=16 считается легче и быстрее, чем 2+2+2+2+2+2+2+2=16\displaystyle 2+2+2+2+2+2+2+2=162+2+2+2+2+2+2+2=16.

Вот таблица умножения. Повторяй.Итак, чтобы считать быстрее, легче и без ошибок, нужно всего лишь запомнить таблицу умножения. Ты, конечно, можешь делать все медленнее, труднее и с ошибками! Но…

Вот таблица умножения. Повторяй.

И другой, красивее:

А какие еще хитрые приемы счета придумали ленивые математики? Правильно – возведение числа в степень.

 

Возведение числа в степень

Если тебе нужно умножить число само на себя пять раз, то математики говорят, что тебе нужно возвести это число в пятую степень. Например, 2⋅2⋅2⋅2⋅2=25\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2={{2}^{5}}2⋅2⋅2⋅2⋅2=2​5​​. Математики помнят, что два в пятой степени – это 32\displaystyle 3232. И решают такие задачки в уме – быстрее, легче и без ошибок.

Для этого нужно всего лишь запомнить то, что выделено цветом в таблице степеней чисел. Поверь, это сильно облегчит тебе жизнь.

Кстати, почему вторую степень называют квадратом числа, а третью - кубом? Что это значит? Очень хороший вопрос. Сейчас будут тебе и квадраты, и кубы.

Пример из жизни №1

Начнем с квадрата или со второй степени числа.

Представь себе квадратный бассейн размером 3\displaystyle 33 метра на 3\displaystyle 33 метра. Бассейн стоит у тебя на даче. Жара и очень хочется купаться. Но… бассейн без дна! Нужно застелить дно бассейна плиткой. Сколько тебе надо плитки? Для того чтобы это определить, тебе нужно узнать площадь дна бассейна.

Ты можешь просто посчитать, тыкая пальцем, что дно бассейна состоит из 9\displaystyle 99 кубиков метр на метр. Если у тебя плитка метр на метр, тебе нужно будет 9\displaystyle 99 кусков. Это легко… Но где ты видел такую плитку? Плитка скорее будет 10\displaystyle 1010 см на 10\displaystyle 1010 см. И тогда «пальцем считать» замучаешься. Тогда придется умножать. Итак, по одной стороне дна бассейна у нас поместится 30\displaystyle 3030 плиток (300 см10 см=30300 см10 см=30штук) и по другой тоже 30\displaystyle 3030 плиток. Умножив 30\displaystyle 3030 на 30\displaystyle 3030, ты получишь 900\displaystyle 900900 плиток (30⋅30=900\displaystyle 30\cdot 30=90030⋅30=900).

Ты заметил, что для определения площади дна бассейна мы умножили одно и то же число само на себя? Что это значит? Раз умножается одно и то же число, мы можем воспользоваться приемом «возведение в степень». (Конечно, когда у тебя всего два числа, все равно перемножить их или возвести в степень. Но если у тебя их много, то возводить в степень значительно проще и ошибок при расчетах получается тоже меньше. Для ЕГЭ это очень важно).
Итак, тридцать во второй степени будет 900\displaystyle 900900 (302=900\displaystyle {{30}^{2}}=90030​2​​=900). Или же можно сказать, что тридцать в квадрате будет 900\displaystyle 900900. Иными словами, вторую степень числа всегда можно представить в виде квадрата. И наоборот, если ты видишь квадрат – это ВСЕГДА вторая степень какого-то числа. Квадрат – это изображение второй степени числа.

Пример из жизни №2

Вот тебе задание, посчитать, сколько квадратов на шахматной доске с помощью квадрата числа... По одной стороне 8\displaystyle 88 клеток и по другой тоже 8\displaystyle 88. Чтобы посчитать их количество, нужно восемь умножить на восемь или… если заметить, что шахматная доска – это квадрат со стороной 8\displaystyle 88, то можно возвести восемь в квадрат. Получится 64\displaystyle 6464 клетки. (8⋅8=82=64\displaystyle 8\cdot 8={{8}^{2}}=648⋅8=8​2​​=64) Так?

Пример из жизни №3

Теперь куб или третья степень числа. Тот же самый бассейн. Но теперь тебе нужно узнать, сколько воды придется залить в этот бассейн. Тебе нужно посчитать объем. (Объемы и жидкости, кстати, измеряются в кубических метрах. Неожиданно, правда?) Нарисуй бассейн: дно размером 3\displaystyle 33 на 3\displaystyle 33 метра и глубиной 3\displaystyle 33 метра и попробуй посчитать, сколько всего кубов размером метр на метр войдет в твой бассейн.

Прямо показывай пальцем и считай! Раз, два, три, четыре…двадцать два, двадцать три… Сколько получилось? Не сбился? Трудно пальцем считать? Так-то! Бери пример с математиков. Они ленивы, поэтому заметили, что чтобы посчитать объем бассейна, надо перемножить друг на друга его длину, ширину и высоту. В нашем случае объем бассейна будет равен 3⋅3⋅3=27\displaystyle 3\cdot 3\cdot 3=273⋅3⋅3=27 кубов… Легче правда?

А теперь представь, насколько математики ленивы и хитры, если они и это упростили. Свели все к одному действию. Они заметили, что длина, ширина и высота равна и что одно и то же число перемножается само на себя… А что это значит? Это значит, что можно воспользоваться степенью. Итак, то, что ты 27\displaystyle 2727 раз считал пальцем, они делают в одно действие: три в кубе равно 27\displaystyle 2727. Записывается это так: 33=27\displaystyle {{3}^{3}}=273​3​​=27.

Остается только запомнить таблицу степеней. Если ты, конечно, такой же ленивый и хитрый как математики. Если любишь много работать и делать ошибки – можешь продолжать считать пальцем.

Ну и чтобы окончательно убедить тебя, что степени придумали лодыри и хитрюги для решения своих жизненных проблем, а не для того чтобы создать тебе проблемы, вот тебе еще пара примеров из жизни.