2020-06-08
204
Министерство образования И НАУКИ Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Московский физико-технический институт (государственный университет)»
(МФТИ)
Кафедра «Информационные системы»
«УТВЕРЖДАЮ»
Проректор по учебной работе
Ю.А. Самарский.
2012 г.
.
Рабочая УЧЕБНАЯ Программа
по дисциплине: Теория случайных процессов
по направлению: 010900 «Прикладные математика и физика»
профиль подготовки: Инфокоммуникационные и вычислительные системы и технологии
|
|
|
факультеты: ФРТК
кафедра: Информационные системы
курс: 3 (бакалавриат)
семестр: весенний
э кзамен: 6 семестр
Трудоемкость в зач. ед.: вариативная часть – 4 зач. ед.,
в т.ч.:
лекции: вариативная часть – 64 час.;
практические (семинарские) занятия: нет;
лабораторные занятия: нет;
мастер классы, индивид. и групповые консультации: нет;
самостоятельная работа: вариативнаячасть(включая подготовку 2-х заданий)– 32 час.
подготовка к экзамену: вариативная часть – 1 зач. ед.
ВСЕГО Аудиторных часов 136
Программу составил д.т.н., доцент Лагуткин В.Н
Программа обсуждена на заседании кафедры “Информационные системы”
«____» _______________2012 г.
Заведующий кафедрой к.т.н. Люхин А.В.
Содержание дисциплины
| № | Название модулей | Темы и разделы занятий | Содержание | Часы | ||
| 1 | Введение в теорию случайных процессов | Основы теории случайных процессов. | Введение. Понятие случайного процесса (СП). Основные определения. Реализации СП. Примеры некоторых типов СП. Одномерные и многомерные распределения вероятностей, плотности распределений вероятностей СП, их свойства, условие согласованности. Одномерные и многомерные характеристические функции СП, их свойства, условие согласованности. Моментные функции СП. Начальные и центральные моментные функции. Связь моментных и характеристических функций СП. | 4 | ||
| 2 | Основные классы случайных процессов. Элементы стохастического анализа случайных функций | Некоторые основные типы случайных процессов. Элементы стохастического анализа случайных функцийДифференциальные уравнения со случайной правой частью. Стохастические интегралы. Разложение СП по ортогональным функциям (Карунена-Лоэва). Представления СП в виде стохастических интегралов. | 4 | |||
| 3 | Стационарные случайные процессы.
| Стационарные случайные процессы. Эргодичность случайных процессов. | Пуассоновские импульсные СП. Дробовой шум. Определения стационарности в узком и широком смысле. Эргодичность СП. Необходимые и достаточные условия эргодичности стационарного СП при определении математического ожидания, дисперсии, функции корреляции. Определение плотности вероятности по одной реализации эргодического СП. Необходимое и достаточное условие эргодичности гауссовского стационарного СП. | 4 | ||
| 4 | Практическое определение статистических характеристик стационарного эргодического случайного процесса. | Практическое определение математического ожидания и ковариационной функции стационарного эргодического СП. Требуемая длительность обрабатываемой реализации для заданной точности оценок. Время корреляции. Свойства ковариационной функции стационарного СП. Примеры ковариационных функций стационарных СП. | 4 | |||
| 5 | Спектральное представление стационарных в широком смысле случайных процессов. | Теорема о спектральном представлении стационарных в широком смысле СП. Спектральная интенсивность и спектральная плотность СП. Связь спектральной плотности с ковариационной функцией (теорема Винера-Хинчина). Основные свойства спектральной плотности. Соотношение неопределенности для эффективной ширины спектра СП и времени корреляции. Примеры спектральных плотностей стационарных СП. | 4 | |||
| 6 | Белый шум. Аппроксимация реального случайного процесса белым шумом. | Асимптотический смысл дельта-коррелированных СП. Белый шум. Аппроксимация реального случайного процесса белым шумом (функция корреляции и спектральная плотность). Взаимные спектральные плотности и их свойства. Примеры спектральных представлений стационарных СП. Практическое определение спектральной плотности стационарного СП. Спектральный анализ нестационарных СП. | 4 | |||
| 7 | Гауссовские случайные процессы | Гауссовские (нормальные) случайные процессы и их статистические свойства. | Определение гауссовского СП. Многомерные плотности вероятности и соответствующие характеристические функции. Основные свойства гауссовских СП. Некоррелированность и независимость. Стационарность в строгом и широком смысле. Многомерные смешанные моменты и их вычисление. Линейные преобразования гауссовских СП. О законе распределения на выходе линейных систем. Производная гауссовского СП. Оценка значения гауссовского случайного процесса по значениям процесса в другие моменты времени. | 4 | ||
| 8 | Случайные процессы в линейных системах. | Преобразование случайных процессов в линейных системах. | Временной и спектральный подходы при описании преобразований СП в линейной системе. Математическое ожидание, ковариационная функция и дисперсия процесса на выходе системы в переходном и установившемся режимах. Спектральная плотность выходного процесса в установившемся режиме. | 4 | ||
| 9 | Преобразования стационарного случайного процесса в линейных динамических системах с постоянными параметрами. | Примеры преобразования стационарных СП в линейных динамических системах с постоянными параметрами: винеровский процесс, преобразование белого шума линейной динамической системой первого порядка. Броуновское движение и тепловой шум в электрических цепях. Воздействие шума на следящую систему. Фильтрация квазистационарных процессов линейными системами с постоянными параметрами. | 4 | |||
| 10 | Оптимальные линейные системы. | Задачи теории оптимальных линейных систем. Сглаживание и прогнозирование стационарных воздействий с использованием бесконечной предыстории. Сглаживающий фильтр с бесконечной задержкой. Выражения для функции передачи и среднеквадратической ошибки оптимального фильтра. Примеры. Максимизация отношения сигнал/шум; согласованный фильтр. | 4 | |||
| 11 | Узкополосные случайные процессы. | Узкополосные случайные процессы. | Определение узкополосного СП. Ковариационная функция узкополосного высокочастотного процесса. Эквивалентность узкополосного СП двум медленно меняющимся процессам. Узкополосные случайные процессы, определяемые дифференциальными уравнениями. Огибающая и фаза узкополосного случайного процесса. Совместная двумерная плотность вероятности огибающей и фазы гауссовского узкополосного СП. Релеевские флуктуации. Огибающая суммы гармонического сигнала и шума. Обобщенный закон распределения Релея. | 4 | ||
| 12 | Нелинейные преобразования случайных процессов | Преобразование случайных процессов в безынерционных нелинейных системах. | Законы распределения процесса на выходе безынерционных нелинейных систем. Плотность вероятности при квадратичном преобразовании. Определение ковариационных функций на выходе нелинейных систем. Случай узкополосного входного сигнала. Квадратичное детектирование шума и аддитивной смеси полезного сигнала и шума. Вычисление моментных функций при экспоненциальном преобразовании. Измерение шумовых сигналов. Чувствительность радиометров. | 4 | ||
| 13 | Марковские случайные процессы.
| Марковские случайные процессы. | Основные определения марковских случайных процессов. Плотность вероятности перехода и ее свойства. Многомерная плотность вероятности. Однородные и стационарные процессы. Уравнение Смолуховского. Дифференциальные уравнения Колмогорова и уравнение Фоккера-Планка. Начальные и граничные условия. Запись уравнения Фоккера-Планка через поток вероятности. Вычисление коэффициентов сноса и диффузии для процессов, заданных стохастическими дифференциальными уравнениями. Примеры марковских СП: винеровский случайный процесс, воздействие белого шума на линейную динамическую систему первого порядка. | 4 | ||
| 14 | Решение уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова. | Стационарное решение уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова. Методы решения нестационарных уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова. Гауссовские марковские процессы. Многомерные непрерывные (диффузионные) марковские процессы. Многомерные марковские процессы, определяемые системами стохастических уравнений первого порядка. Приведение немарковского процесса к марковскому с большей размерностью. | 4 | |||
| 15 | Приложения теории марковских случайных процессов | Задача о времени первого достижения границ марковским случайным процессом. Определение математического ожидания времени первого достижения границы марковским случайным процессом с использованием обратного уравнения Колмогорова. Статистическое описание явления «переброса» процесса из одного устойчивого состояния в другое. | 4 | |||
| 16 | Случайные процессы и задачи обнаружения, различения и оценки параметров сигналов в присутствии шумов. | Применение теории случайных процессов к задачам обнаружения, различения и оценки параметров сигналов в присутствии шумов. | Некоторые основные понятия статистической теории решений. Отношение и функция правдоподобия, метод максимума правдоподобия. Наблюдаемые координаты СП. Использование ортогональных представлений. Обнаружение сигналов на фоне белого гауссова шума. Бинарное обнаружение. Корреляционный приемник. Многоальтернативная задача различения сигналов на фоне белого гауссова шума. Оценка параметров сигналов в присутствии белого гауссова шума. Линейные и нелинейные оценки. Обнаружение и оценка параметров сигналов в присутствии небелого гауссова шума. Использование разложения Карунена-Лоэва. Интегральное уравнение для опорного сигнала. | 4 | ||
| ВСЕГО(зач. ед.(часов)) | 64 часа |
Основная литература.
|
|
|
1. А.В. Булинский, А.Н. Ширяев. Теория случайных процессов. М: «Физматлит», 2005
2. А.А. Натан, О.Г.Горбачев, С.А. Гуз. Основы теории случайных процессов. М: МЗ-Пресс, 2003
3. И.К.Волков, С.М.Зуев, Г.М.Цветкова. Случайные процессы, М: Издательство МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2003.
