Площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты опущенной на это основание

То есть в данном случае

Так как высота треугольника DCE в 2 раза меньше высоты треугольника ABC (средняя линия высоту треугольника делит пополам), то площадь треугольника DCE:

Как уже сказано, средняя линия в треугольнике равна половине стороны ей параллельной:

Значит

В данной задаче ненужно находить ни длины оснований треугольников, ни высоты. Вычислим, во сколько раз площадь треугольника DCE меньше площади треугольника ABC

В 4 раза площадь треугольника DCE меньше площади треугольника ABC, это значит, что

Ответ: 1

№ 8

Основания трапеции равны 1 и 3, высота равна 1. Найдите площадь трапеции.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

В нашем случае

Ответ: 2

№ 9

Средняя линия и высота трапеции равны соответственно 3 и 2. Найдите площадь трапеции.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Дело в том, что полусумма оснований это и есть длина средней линии трапеции, здесь она уже дана, то есть не нужно знать длины оснований.

То есть другими словами:

площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.

Ответ: 6

№ 10

Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 18, а отношение соседних сторон равно 1: 2.

Площадь равна:

Соотношение соседних сторон равно 1 к 2, означает, что одна сторона в два раза больше другой.

Обозначим BC за х, тогда AB будет равно 2х. Подставив в формулу периметра, эти значения найдём х.

; ; .

Площадь равна:

Ответ: 18

Приложение 3. Задачи на движение.

Здесь два правила:

Эти задачи решаются по формуле: ,

то есть расстояние скорость время. Из этой формулы можно выразить скорость или время .

В качестве переменной удобнее всего (в большинстве случаев) выбирать скорость.

РЕШИМ ЗАДАЧИ:

Два велосипедиста одновременно отправились в 88-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 3 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

Примем скорость второго велосипедиста за х. Тогда скорость первого равна х +3. Расстояние оба проехали одинаковое — 88 километров. Осталось записать время.

Поскольку , первый затратит = часов, а второй часов.

	v	t	S
1			88
2			88

Сказано, что первый прибыл на три часа раньше, то есть он затратил время на движение и ещё три часа ожидал, пока прибудет второй. Значит время, затраченное первым на передвижение плюс три часа ожидания второго, равно времени нахождения в пути второго.

Можно рассудить по-другому: выражение «первый прибыл на три часа раньше», означает, что он затратил на пробег на три часа меньше, чем второй. То есть на 3, или

Умножаем левую и правую части на .

Приводим его к квадратному, получим

Решаем его, получим:

D=361

это вполне правдоподобная скорость велосипедиста. А ответ не подходит, так как скорость велосипедиста должна быть положительна.

Ответ: 8

От пристани А к пристани В отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 1 час после этого следом за ним со скоростью, на 1 км/ч большей, отправился второй. Расстояние между пристанями равно 420 км. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

Примем скорость первого теплохода за . Тогда скорость второго теплохода равна .

Расстояние оба проехали одинаковое — 420 километров. Осталось записать время.

Поскольку , первый затратит часов, а второй часов.

	v	t	S
1			420
2			420

Сказано, что через час после отправления первого, в путь отправился второй, то есть он затратил время на движение на час меньше.

Умножаем левую и правую части на .

Приводим к квадратному, получим

Решаем его:

Скорость теплохода должна быть положительна, значит, она равна (км/ч).

Ответ: 20

Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна .

Тогда скорость движения моторки по течению равна , а скорость, с которой она движется против течения .

Расстояние и в ту, и в другую сторону одинаково и равно 255 км.

Занесем скорость и расстояние в таблицу.

Заполняем графу «время». Мы уже знаем, как это делать.

При движении по течению , при движении против течения , причем на два часа меньше, чем . Да это и логично, что время на движение по течению затрачивается меньше

	v	t	S
По течению			255
Против течения			255

Условие на два часа меньше, чем можно записать в виде .

Вообще-то это уравнение имеет два корня: и (оба этих числа при возведении в квадрат дают 256). Но, конечно же, отрицательный ответ не подходит — скорость лодки должна быть положительной.

Ответ: 16

Из двух городов, расстояние между которыми равно 560 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны 65 км/ч и 75 км/ч?

Принимаем искомую величину, то есть время, через которое автомобили встретятся за х. В данной задаче проще производить сравнение по расстоянию. Составим таблицу и найдём «расстояние», которое проехал каждый автомобиль.

	v	t	S
1		x	65x
2		x	75 x

Один проехал до места встречи 65х км, другой 75х км. По условию расстояние между городами 560 км. Значит, сумма пройденных расстояний будет равна 560 км.

Автомобили встретятся через 4 часа.

Ответ: 4

Задачи на работу

Правила решения задач на работу:

, то есть работа = производительность время. Из этой формулы легко найти t или p.
Если объем работы не важен в задаче и нет никаких данных, позволяющих его найти — работа принимается за единицу. Построен дом (один), покрашен забор (один), наполнен резервуар. А вот если речь идет о количестве кирпичей, количестве деталей, литрах воды — работа как раз и равна этому количеству.
Если трудятся двое рабочих (два экскаватора, два мастера, Даша и Маша...) или трое (не важно) — их производительности складываются. Очень логичное правило.
В качестве переменной удобно взять именно производительность. Так же, как в задах на движение мы за принимаем скорость.

Вы убедитесь, что задачи на работу и движение очень схожи.

1. Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?

Как и в задачах на движение, заполним таблицу.

В колонке «работа» и для первого, и для второго рабочего запишем: 110. В задаче спрашивается, сколько деталей в час делает второй рабочий, то есть какова его производительность. Примем её за . Тогда производительность первого рабочего равна (он делает на одну деталь в час больше).

Поскольку , время работы первого рабочего равно , время работы второго равно .

	p	t	A
1 рабочий			110
2 рабочий			110

Первый рабочий выполнил заказ на час быстрее. Следовательно, времени он затрачивает на 1 час меньше, чем второй, то есть на 1 меньше, чем , значит

Мы уже решали такие уравнения. Оно легко сводится к квадратному:

D=441

Очевидно, производительность рабочего не может быть отрицательной величиной. Значит, отрицательный корень не подходит.

Ответ: 10

На изготовление 99 деталей первый рабочий затрачивает на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 110 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Данная задача практически не отличается от предыдущей, разница лишь в объёме работы. Примем производительность второго рабочего за .

Тогда производительность первого рабочего равна (он делает в час на одну деталь больше). Заполним графу «время» в таблице:

	p	t	A
1 рабочий			99
2 рабочий			110

Сравнение будем проводить по времени. Сказано, что первый затрачивает на 2 часа меньше, чем второй. Значит

D=961

Второй рабочий в час делает 10 деталей.

Ответ: 10

Первая труба пропускает на 4 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 192 литра она заполняет на 4 минуты дольше, чем вторая труба?

Примем производительность первой трубы за (литров в минуту). Тогда производительность второй трубы равна . Работа это объём резервуара – 192 литра. Заполним графу «время» в таблице:

	p	t	A
1 труба			192
2 труба			192

Первая труба заполняет резервуар на 4 минуты дольше, чем вторая. То есть времени уходит больше

D=784 Первая труба в минуту пропускает 12 литров.

Ответ: 12

Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?

Сразу отметим, что производительность каждого рабочего (заказа в час). Заказ это работа, она равна 1. Пусть это время совместной работы, тогда один работал часов, другой . Заполним графу «работа» для каждого:

	p	t	A
1 рабочий
2 рабочий

Сумма сделанных ими объёмов работы составляет всю работу, равную 1.

Совместно рабочие работали 6 часов. На весь заказ ушло

Можно выстроить рассуждение таким образом:

В условии сказано, что рабочий может выполнить заказ за 15 часов, то есть его производительность заказа в час. Значит, за первые три часа один рабочий выполнит заказа, . Получается, что на двоих останется заказа. Далее они работают вдвоём, значит, на каждого из рабочих придётся заказа, так как их производительность одинаковая. Имеем: рабочий выполняет заказа в час, значит, заказа выполнит за 6 часов, то есть совместно они будут работать 6 часов. Итак, на выполнение всего заказа потребуется

Ответ: 9.

Приложение 4.

Практическое задание №15 по теме «Решение задач»

Вариант 1

1. Для ремонта комнаты требуется 15 рулонов обоев. Какое минимальное количество пачек обойного клея нужно купить для ремонта квартиры, если 1 пачка клея рассчитана на 6 рулонов обоев?

2. Набор карандашей, который стоил 120 рублей, продается со скидкой 5%. Сколько стоят три набора карандашей со скидкой?

3. Научная конференция проходит 5 дней. Все выступления поровну распределены между днями конференции. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Какова вероятность, что выступление доктора наук К. из России состоится во второй день конференции?

4. Найдите корень уравнения:

5. Каждому из 4 неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями. В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Неравенства: Решения:

А)

Б)

В)

-1

Г)

-1

А	Б	В	Г

5. На стороне СД прямоугольника АВСД отмечена точка Е так, что треугольник ВСЕ равнобедренный. Найдите периметр АВСД, если известно, что АЕ=13 и ЕД=5.

Вариант 2

1. На автозаправке клиент отдал кассиру 1000 рублей и попросил залить полный бак бензина. Цена бензина 35 рублей за литр. Клиент получил 125 рублей сдачи. Сколько литров бензина было залито в бак?

2. Среди всех выпускников школы 32 человека планируют учиться в гуманитарных вузах, и они составляют 50% от числа всех выпускников. Сколько всего выпускников в этой школе?

3. Конкурс исполнителей проводится в 4 дня. Всего заявлено 60 выступлений – по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. Все выступления поровну распределены между конкурсными днями. Порядок выступления определяется жеребьевкой. Какова вероятность, что выступление исполнителя из России состоится в третий день конкурса?

4. Найдите корень уравнения:

Неравенства: Решения:

А)

Б)

В)

-2

Г)

-2

А	Б	В	Г

6. В прямоугольнике АВСД, у которого АВ=7 и ВС=4, ВЕ – биссектриса угла АВС. Найдите АЕ.

Приложение 5. Иррациональные уравнения.

Рассмотрим разные способы решения иррациональных уравнений:

Иногда помогает область определения функции

Через ОДЗ.

Ответ: нет решений.

Бывает полезным использование свойств монотонности функций.

Корень 3 очевиден. и - возрастающие функции, поэтому их сумма тоже возрастает. Возрастающая функция достигает каждое свое значение один раз, поэтому больше корней нет.