Материалы для самопроверки по теме

«Математические доказательства»

Задание 1. Определите, какое отношение имеет место между предложениями (отношение следования или отношение равносильности). Сформулируйте со словами «Если…, то…», «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно»

1. С: «число х – натуральное»

D: «число х – положительное»

1) Формулирую C D: «Если число х – натуральное, то число х – положительное». Проверяю значение истинности – И. Следовательно, есть отношение следования – из C следует D. Значит, C – достаточное условие для D, а D – необходимое условие для C.

2) Формулирую D C: «Если число х – положительное, то число х – натуральное». Проверяю значение истинности – Л (например, число 2,5 положительное, но не натуральное). Следовательно, нет отношения следования – из D не следует C.

3) Делаю вывод. Между предложениями C и D существует только отношение логического следования – из С следует D. Значит, предложение можно сначала сформулировать со словом «необходимо», а потом со словом «достаточно».

4) Формулирую, начиная с С. Чтобы число число х было натуральным, необходимо, чтобы это число было положительным.

5) Формулирую, начиная с D. Чтобы число х было положительным, достаточно, чтобы оно было натуральным.

 

2. А: «Иванов – спортсмен»

В: «Иванов – мастер спорта»

1) Формулирую А В: «Если Иванов – спортсмен, то он мастер спорта». Проверяю значение истинности – Л. Следовательно, между предложениями А и В нет отношения логического следования.

2) Формулирую В А: «Если Иванов – мастер спорта, то он спортсмен». Проверяю значение истинности – И. Следовательно, есть отношение следования – из В следует А. Значит, В – достаточное условие для А, а А – необходимое условие для В.

6) Делаю вывод. Между предложениями В и А существует только отношение логического следования – из В следует А. Значит, предложение можно сначала сформулировать со словом «необходимо», а потом со словом «достаточно».

3) Формулирую, начиная с В. Чтобы Иванов был мастером спорта, необходимо, чтобы он был спортсменом.

4) Формулирую, начиная с А. Чтобы Иванов был спортсменом, достаточно, чтобы он был мастером спорта.

 

3. Х: «х делится на 10»

Y: «запись числа х оканчивается цифрой 0»

1) Формулирую X Y: «Если число х делится на 10, то запись числа х оканчивается цифрой 0». Проверяю значение истинности – И. Следовательно, есть отношение следования – из X следует Y. Значит, X – достаточное условие для Y, а Y – необходимое условие для X.

2) Формулирую Y X: «Если запись числа х оканчивается цифрой 0, то число х делится на 10». Проверяю значение истинности – И. Следовательно, есть отношение следования – из Y следует X. Значит, Y – достаточное условие для X, а X – необходимое условие для Y.

3) Делаю вывод. Если из X следует Y и из Y следует X, значит, предложения X и Y равносильны X  Y. Значит, X – необходимое и достаточное условие для Y, а Y – необходимое и достаточное условие для X. Значит, предложение можно сформулировать только со словами «необходимо и достаточно».

4) Формулирую, начиная с X. Чтобы число х делилось на 10, необходимо и достаточно,  чтобы запись числа х оканчивалась цифрой 0.

5) Формулирую, начиная с Y. Чтобы запись числа х оканчивалась цифрой 0, необходимо и достаточно, число х делилось на 10.

 

4. М: «х делится на 14»,

N: «х делится на 2 и х делится на 7».

1) Формулирую М N: «Если х делится на 14, то х делится на 2 и х делится на 7». Проверяю значение истинности – И. Следовательно, есть отношение следования – из М следует N. Значит, М – достаточное условие для N, а N – необходимое условие для М.

2) Формулирую N М: «Если х делится на 2 и х делится на 7, то х делится на 14». Проверяю значение истинности – И. Следовательно, есть отношение следования – из N следует М. Значит, N – достаточное условие для М, а М – необходимое условие для N.

3) Делаю вывод. Если из М следует N и из N следует М, значит, предложения М и N равносильны М  N. Значит, М – необходимое и достаточное условие для N, а N – необходимое и достаточное условие для М. Значит, предложение можно сформулировать только со словами «необходимо и достаточно».

4) Формулирую, начиная с М. Чтобы число х делилось на 14, необходимо и достаточно, чтобы число х делилось на 2 и на 7.

5) Формулирую, начиная с N. Чтобы число х делилось на 2 и на 7, необходимо и достаточно, чтобы число х делилось на 14.

 

Задание 2. Выделите в теореме условие и заключение. Сформулируйте все виды теорем.

1. Кипение жидкости при температуре 100° есть необходимое условие того, чтобы жидкость была водой.

1) Определяю, к какой части относится слово «необходимое» - к кипению или к воде? Считаю, что к кипению. Следовательно, это вторая часть теоремы (В) - заключение, т. е. то, что стоит после слова «то …». Значит, то, что касается воды, является первой частью теоремы (А) – условием - и будет стоять после слова «Если …».

2) Формулирую теоремы:

Данная теорема А  В: «Если жидкость является водой, то она кипит при температуре 100°».

Обратная теорема В  А: «Если жидкость кипит при температуре 100°, то она является водой».

Противоположная данной теорема     : «Если жидкость не является водой, то она не кипит при температуре 100°».

Обратная противоположной     : «Если жидкость не кипит при температуре 100°, то она не является водой».

 

2. Равенство числителя дроби 0 достаточно для равенства 0 всей дроби.

1) Определяю, к какой части относится слово «достаточно» - к равенству числителя или к равенству всей дроби? Считаю, что к равенству числителя. Следовательно, это первая часть теоремы (А) - условие, т. е. то, что стоит после слова «Если …». Значит, то, что касается равенства всей дроби, является второй частью теоремы (В) – заключением - и будет стоять после слова «то …».

2) Формулирую теоремы:

Данная теорема А  В: «Если числитель дроби равен нулю, то и вся дробь равна нулю».

Обратная теорема В  А: «Если вся дробь равна нулю, то и числитель дроби равен нулю».

Противоположная данной теорема     : «Если числитель дроби не равен нулю, то и вся дробь не равна нулю».

Обратная противоположной     : «Если вся дробь не равна нулю, то и числитель дроби не равен нулю».

3. Присутствие студента на всех занятиях является достаточным условием того, чтобы успешно сдать экзамен.

1) Определяю, к какой части относится слово «достаточным» - к присутствию студента или к сдаче экзамена? Считаю, что к присутствию студента. Следовательно, это первая часть теоремы (А) - условие, т. е. то, что стоит после слова «Если …». Значит, то, что касается сдачи экзамена, является второй частью теоремы (В) – заключением - и будет стоять после слова «то …».

2) Формулирую теоремы:

Данная теорема А  В: «Если студент присутствует на всех занятиях, то он успешно сдаст экзамен».

Обратная теорема В  А: «Если студент успешно сдал экзамен, то он присутствовал на всех занятиях».

Противоположная данной теорема     : «Если студент не присутствует на всех занятиях, то он успешно не сдаст экзамен».

Обратная противоположной     : «Если студент успешно не сдал экзамен, то он не присутствовал на всех занятиях».

4. Достижение человеком 14-летнего возраста необходимо для того, чтобы получить паспорт.

1) Определяю, к какой части относится слово «необходимое» - к возрасту или к паспорту? Считаю, что к возрасту. Следовательно, это вторая часть теоремы (В) - заключение, т. е. то, что стоит после слова «то …». Значит, то, что касается паспорта, является первой частью теоремы (А) – условием - и будет стоять после слова «Если …».

2) Формулирую теоремы:

Данная теорема А  В: «Если человек получил паспорт, то ему исполнилось 14 лет».

Обратная теорема В  А: «Если человеку исполнилось 14 лет, то он получил паспорт».

Противоположная данной теорема     : «Если человек не получил паспорт, то ему не исполнилось 14 лет».

Обратная противоположной     : «Если человеку не исполнилось 14 лет, то он не получил паспорт».

 

Задание 3. Дедуктивны ли рассуждения? Докажите.

1. Лошадь погибает от одного грамма никотина. Сидоров – не лошадь, следовательно, он не погибнет от одного грамма никотина.

 рассуждение недедуктивное

2. Все воспитатели должны быть воспитаны. Петров не воспитан, следовательно, он не воспитатель.

 рассуждение дедуктивное, правило отрицания

3. Книги – источник поучения и развлечения. Таблица логарифмов – книга, значит источник поучения и развлечения.

 рассуждение дедуктивное, правило заключения

4. Если кто-то похитил вещь, то он постарается ее спрятать. Петров спрятал вещь, значит он ее похитил.

 рассуждение недедуктивное

5. Посеешь поступок – привычку пожнешь. Посеешь привычку – характер пожнешь. Следовательно, если поступок посеешь – характер пожнешь.

 рассуждение дедуктивное, правило силлогизма

Задание 4. В каждом умозаключении выделите посылки и заключения. Проанализируйте схему каждого умозаключения.

1. Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны. Треугольник АВС – равнобедренный, следовательно, углы при основании треугольника АВС равны.

Общая посылка: Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны.

Частная посылка: Треугольник АВС – равнобедренный.

Заключение: Углы при основании треугольника АВС равны.

2. Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны. Углы при основании треугольника АВС не равны, значит треугольник АВС – не равнобедренный.

Общая посылка: Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны.

Частная посылка: Углы при основании треугольника АВС не равны.

Заключение: Треугольник АВС – не равнобедренный.

3. Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны. Треугольник АВС – не равнобедренный, значит, углы при основании треугольника АВС не равны.

Общая посылка: Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны.

Частная посылка: Треугольник АВС – не равнобедренный.

Заключение: Углы при основании треугольника АВС не равны.

Задание 5. Это ваше домашнее задание. Файл с этими заданиями мне присылать не надо!!! Выполните в рабочей тетради!

1) Знать теоретический материал – п. 10-14.

2) Выполнить в тетради задания из учебника:

с. 27 № 1, № 4,

с. 29 № 6,

с. 31 № 1,

с. 32 № 5(1),

с. 37 № 1, 3.