Методы решений полных и неполных квадратных уравнений

Методы решения полных квадратных уравнений мы уже немного рассмотрели. Первый способ – это разложение квадратного трёхчлена на множители. Второй способ – графическое решение. Вспомним принцип этих методов.

Любой квадратный трёхчлен ax²+bx+c можно представить в виде а(х – х₁)(х – х₂). Если квадратный трёхчлен приравнять к нулю, то это уже получится квадратное уравнение. Выражение а(х – х₁)(х – х₂) представляет собой произведение трёх элементов а, (х–х₁) и (х–х₂). Любое произведение равно нулю в том случае, если один или несколько (а может и все) его множителей равны нулю. Значит, корнями уравнения а(х – х₁)(х – х₂)=0 будут являться числа х₁ и х₂.

Для примера решим уравнение .

Мы получили уравнение вида а(х – х₁)(х – х₂)

Если и/или , то и уравнение .

, значит, х₁=1. , значит, х₂= –3.

Решение неполного уравнения полностью зависит от того, какой коэффициент равен нулю. Если уравнение вида ах²+bx=0, то оно при водится к виду ах(х+b). Корнями этого уравнения являются числа х₁=0 и х₂= –b.

Примеры

7х²+14х=0

7х²+14х=7х(х+2)=0. Корнями этого уравнения являются числа 0 и –2.

Если уравнение вида ах²+с=0, то мы должны разложить его на разность квадратов а(х-х₁)(х-х₂). Это возможно только если с<0. Если же с>0, то уравнение вида ах²+с=0 не имеет корней. И, наконец, любое уравнение х²=р имеет 2 корня при р>0 это и .