2020-06-10
118
1. Изучение табличных случаев умножения
Учебники Н. Б. Истоминой
Автор: О. А. Хлебникова, учитель начальных классов, школа № 4, г. Домодедово, Московская область.
Журнал: «Начальная школа» (Выпуск №2, 2010).
Главная мысль:
В любом курсе математики начальной школы изучению таблицы умножения уделяется большое внимание. Н.Б. Истомина предлагает в своем учебнике изучать таблицу умножения в соответствии с концепцией курса — развитием мышления всех учащихся в процессе усвоения программного содержания. Следуя рекомендациям автора, при изучении таблицы умножения желательно ориентироваться на этапы:
· непроизвольное запоминание;
· установка на запоминание;
· самоконтроль;
· контроль.
Усвоение табличных случаев происходит постепенно. В конце II класса школьники знакомятся с умножением и рассматривают только случаи табличного умножения с числами 9 и 8. Это позволяет учащимся не только упражняться в сложении и вычитании двузначных и однозначных чисел с переходом в другой разряд, но и сосредоточить свое внимание на сложных случаях табличного умножения (с числами 9 и 8). Для их усвоения они используют определение умножения (смысл действия умножения), переместительное свойство умножения и понятие увеличить в..., что создает условия для выполнения более содержательных заданий. Еще один важный момент — учащиеся не приступают к знакомству с делением, пока не рассмотрят все случаи табличного умножения. Это очень важно, так как выполнить деление ученик может только после усвоения таблицы умножения. В этом случае младший школьник лучше понимает и осознает взаимосвязь действий умножения и деления.
Нельзя не согласиться с Н.Б. Истоми$ ной в том, что, усваивая смысл действия умножения, многие школьники непроизвольно запоминают табличные случаи.
Таким образом, Н. Б. Истомина в своей методике формирования навыков умножения позволяет учесть индивидуальные особенности памяти младших школьников, создавая условия как для непроизвольного, так и для произвольного запоминания таблицы и активизируя при этом смысловую память.
Работа по учебнику «Математика» Н.Б. Истоминой направлена на развитие всех учащихся в процессе усвоения математического содержания, формирование положительной мотивации к обучению, обеспечение психологического комфорта на уроке и успешным овладением знаниями и умениями, необходимыми для продолжения обучения.
Хочется отметить хорошее оснащение данного курса математики, в который входят:
· учебники с I по IV класс, рабочие тетради, методические рекомендации для учителя;
· тетради «Учимся решать задачи», «Наглядная геометрия»;
· сборники контрольных работ для I–IV классов;
· программа для I–IV классов;
· наглядные пособия по математике.
2. Об изучении умножения и деления в I классе
Автор: Е.Г. Веремеева, учитель начальных классов, школа № 9, г. Новый Уренгой
Журнал: «Начальная школа» (Выпуск №1, 2009).
Главная мысль:
«Я работаю по учебно - методическому комплекту «Школа XXI века», где ученики знакомятся с конкретным смыслом умножения и деления в I классе. Известно, что у первоклассников преобладает наглядно действенное мышление. Они легче и быстрее усваивают материал, если сами «проживают» учебную ситуацию. Зная эту особенность учащихся, я предлагаю им два средства обучения: стержни из цветных бусин и деревянные кружки — фишки с треугольниками.
Идею сделать стержни из цветных бусин (от 1 до 10 бусин на стержне) мне подсказала книга М.Г. Сороковой «Система М. Монтессори. Теория и практика» (М., 2006. С. 366). Например, надо 5 5. Ученики ищут отделение со стержнями по 5 бусин на каждом, пересчитывают бусины на одном стержне, берут 5 таких стержней, кладут их рядом и пересчитывают бусины на всех стержнях: их 25. Значит, 5 5 = 25. Для выполнения деления используется другой материал: деревянные кружки - фишки и 9 треугольников «человечков», которым раздают фишки.
Знакомя первоклассников с конкретным смыслом деления, я отталкиваюсь от их социального опыта. Так, на первом уроке по данной теме мы делим фишки поровну между учениками. Например, надо 12: 3. Берем 12 фишек и выбираем троих учеников, между которыми будем делить фишки. Раздаем фишки по одной, пока они не кончатся, и подсчитываем, сколько фишек досталось каждому. Затем я объясняю, что не всегда для выполнения деления удобно привлекать других людей. Мы договариваемся, что их заменят треугольники, и тренируемся с моделями.
Умножение и деление с описанными средствами обучения увлекло моих учеников. В свободное время (на перемене, в группе продленного дня) они сами (без задания учителя) берут листы с примерами, коробку со стержнями из бусин и выполняют вычисления.
Хочу добавить, что с помощью стержней из цветных бусин можно наглядно показать суть переместительного свойства умножения и сравнивать произведения чисел.»
3. Особенности изучения табличного умножения и деления в разных программах обучения математике
Автор: Н.В. Кравченко, учитель начальных классов, с. Новый Тихонов, Волгоградская область
Журнал: «Начальная школа» (Выпуск №3, 2009).
Главная мысль:
Умножение по таблицам впервые ввели вавилонские математики. Однако это было не традиционное умножение в десятичной системе счисления, а умножение по готовым таблицам шестидесятеричной системе счисления, не получившей широкого распространения среди народов мира.
Методы изучения таблиц умножения и деления были разработаны методистами А.И. Гольденбергом, В.К. Беллюстиным и др. Они широко проверены на опыте массовой школы.
Методика введения новых понятий в школе должна базироваться на научной теории соответствующего предмета. Так, широкую известность получили три способа введения понятия умножение:
1) с помощью системы аксиом;
2) на основе операций над множествами;
3) на основе сложения одинаковых слагаемых.
Первый способ положен в основу введения понятия действия умножения в школьный курс как в ряде английских и немецких учебников, так и в некоторых советских, например, пособиях К.И. Нешкова и А.М. Пышкало.
Деление может вводиться следующими путями:
1) как действие, обратное умножению;
2) на основе операций над предметными множествами.
Различают две операции: деление на равные части и деление по содержанию (различная роль множимого и множителя по' рождает различные виды деления). Можно познакомить учеников сначала с делением по содержанию, а затем с делением на равные части. Возможен и обратный порядок.
Однако, какой бы путь ни избрал учитель, изучение табличного умножения и деления — это один из наиболее трудных вопросов начального курса математики. В настоящее время существует много различных программ обучения математике, которые различаются по методике обучения умножению и делению.
В учебниках авторского коллектива под руководством М.И. Моро при изучении табличных случаев на 2 и на 3 (II класс) составляются две таблицы умножения. При введении последующих случаев умножения на 4 – 9 (III класс) составляются две таблицы умножения и две таблицы деления. Все результаты деления находят из соответствующей таблицы умножения. Сначала рассматриваются все табличные случаи умножения и соответствующие случаям деления с числами 2 и 3, затем 4, 5 и т.д.
Табличные случаи умножения и деления с каждым числом изучаются примерно по одному плану. Сначала составляется таблица умножения по постоянному первому множителю. Если составлять таблицу по постоянному второму множителю, то слагаемых будет меньше. Эта таблица удобнее для запоминания наизусть, но зато при ее составлении труднее находить результат.
Для нахождения результата умножения используют различные приемы:
· произведение заменяют суммой (3 4 = = 3 + 3 + 3 + 3 = 12);
· к результату предыдущего примера из таблицы прибавляют соответствующее число (3 4 = 12; 3 5 = 12 + 3 = 15);
· из известного результата вычитают соответствующее число (8 10 = 80, 8 9 = = 80 – 9 = 72).
После того как составлена таблица по постоянному первому множителю, из каждого примера на умножение учащиеся составляют еще один пример на умножение, переставляя множители, и два примера на деление, результат в которых находят на основе связи между компонентами и результатом умножения.
В ходе составления и заучивания большое внимание уделяется упражнениям на запоминание табличных результатов. Заметим, что заучиваются наизусть только результаты умножения, соответствующие же случаи деления учащиеся должны уметь быстро находить, пользуясь таблицей умножения.
В основе построения курса Н.Б. Истоминой лежит идея организации целенаправленной и систематической работы по формированию у младших школьников приемов умственной деятельности. В теме «Умножение» большое внимание уделяется разъяснению предметного смысла этого действия, усвоению его определения как суммы одинаковых слагаемых и осознанию новой математической записи. Параллельно с усвоением предметного смысла умножения проводится работа по формированию навыков табличного умножения. Важно, что составление и усвоение таблиц умножения (деления) органически включается в содержательную линию курса.
Результаты работы по формированию табличных навыков умножения подводятся в теме «Таблица умножения», где учащимся дается задание, при выполнении которого они могут проверить, как каждый из них усвоил таблицу умножения. При этом работа, связанная с составлением и усвоением таблицы умножения, распределяется во времени. Составление и усвоение таблицы умножения начинается со случаев умножения числа 9. Составление таблицы осуществляется небольшими порциями, каждая из которых сопровождается вариативными упражнениями, связанными с такими понятиями, как смысл умножения, переместительное свойство умножения, увеличение в несколько раз. Первая порция, рекомендуемая для запоминания в таблице умножения числа 9, включает случаи 9*5, 9*6 и 9*7. Вторая порция, рекомендуемая для запоминания, включает случаи 9*2, 9*3 и 9*4. И наконец, последняя порция включает случаи 9*8 и 9*9. Таким образом, данная методика позволяет учесть индивидуальные особенности учащихся, создавая условия как для непроизвольного, так и для произвольного запоминания таблицы, активизируя при этом смысловую память. Во II классе рассматриваются только табличные случаи умножения с числами 8 и 9. Дальнейшая работа, связанная с усвоением таблицы умножения и соответствующих случаев деления, продолжается в III классе.
Курс математики Л.Г. Петерсон в целом ориентирован на личностное развитие ребенка. Поэтому знания в нем рассматриваются не как самоцель, а как средство раз' вития мышления учеников, их чувств и эмоций, творческих способностей и мотивов деятельности. Первостепенным по значимости вопросом, который рассматривается во II классе, является раскрытие смысла умножения и деления. При введении умножения учитель показывает школьникам практическую целесообразность нового арифметического действия. Оно заключается в том, что решение многих практических задач с помощью известных действий неудобно или даже невозможно. Учитель лишь сообщает общепринятую терминологию: умножение, первый множитель, второй множитель. Далее учащиеся составляют таблицу умножения всех однозначных чисел. Заполняя ее, они должны заметить, что в первой строке каждое следующее число на 1 больше предыдущего, во второй строке каждое следующее число на 2 больше предыдущего, в третьей строке увеличиваются на 3, в четвертой — на 4 и т.д. Поскольку кратные однозначных чисел школьники должны уже знать, то остальные строчки заполняются быстро. В результате получается полная таблица умножения. Далее детей знакомят с делением, различия между умножением и делением. Далее переходят к умножению и делению на 0 и 1, частные случаи.
Основой процесса обучения математике в развивающей системе Л.В. Занкова, направленной на общее развитие школьников, являются особые дидактические принципы, которые реализуются в самостоятельном коллективном и индивидуальном добывании знаний учащимися на основе использования опыта, результатов практической деятельности, проведенных наблюдений, высказанных предположений, их сравнения и доказательного отбора. Таким образом, основным в обучении математике по этой системе является индуктивный путь познания, особенно в начале обучения, что не исключает использования и дедуктивного пути в тех случаях, когда это диктуется особенностями рассматриваемого вопроса и возможностями учеников. Во II классе начинается изучение действий умножения и деления. Умножение рассматривается как действие, заменяющее сложение в случаях равенства слагаемых. Деление возникает как действие, обратное умножению, которое дает возможность по значению произведения и одному множителю найти другой множитель. В дальнейшем умножение и деление рассматриваются и с других точек зрения, а именно как действия, позволяющие увеличить или уменьшить число в несколько раз. Деление также рассматривается как действие, при помощи которого можно узнать, во сколько раз одно число больше или меньше другого. Понимание связи между умножением и делением дает возможность связать каждый случай умножения с соответствующими случаями деления, что делает ненужным составление и запоминание табличных случаев деления. Стремясь максимально использовать связи между сложением и умножением, авторы отказались от принципа ее составления, основанного на рассмотрении сумм, содержащих разное количество одних и тех же слагаемых (2 + 2, 2 + 2 + 2 и т.д.). В учебнике по системе Л.В. Занкова первым шагом в составлении таблицы умножения является рассмотрение таблицы сложения с точки зрения выделения сумм, в которых сложение можно заменить умножением. Таким образом, первый столбик умножения объединяет все случаи умножения однозначных чисел на 2. В дальнейшем второй множитель последовательно увеличивается от столбика к столбику, пока не достигнет 9. Табличное деление выполняется учащимися на основе использования таблицы умножения и взаимосвязи между этими действиями.
Анализ учебников и программ по математике для начальной школы в различных системах обучения показал, что:
— табличное умножение и деление изучается в течение двух лет в программе авторского коллектива под руководством М.И. Моро и программе Н.Б. Истоминой. В соответствии с логикой курса Н.Б. Истоминой ученики усваивают смысл умножения и его табличные случаи и только после этого (в III классе) приступают к изучению деления. В программе Л.Г. Петерсон тема «Умножение и деление» изучается в течение одного года;
— в каждой из указанных выше систем есть своеобразные, присущие только дан' ной системе методы и приемы изучения табличного умножения и деления.
4. Совершенствование техники вычислений и работа над приёмом письменного деления
Автор: Т.В. Бурлакова, И.И. Целищева
Журнал: «Начальная школа плюс До и После»
Главная мысль:
Одна из целей изучения начального курса математики состоит в обеспечении числовой грамотности учащихся и умения производить все арифметические действия в области неотрицательных целых чисел.
Учителям хорошо известно, что наибольшие трудности при выполнении деления возникают у учащихся в связи с подбором цифры в частном и определении количества цифр в нём.
Помимо субъективных причин, это можно объяснить тем, что в начальной школе внимание больше обращается на деление без остатка. Задания на «деление с остатком» учащиеся выполняют в основном при изучении темы «Деление с остатком». Поэтому не все ученики способны применить полученный приём в новых условиях при выполнении письменного деления.
Как показала практика, в таких случаях, как 27: 3, 35: 5, 63: 9, 48: 6, 72: 8, 90: 3, дети быстро находят результат, но затрудняются при подборе цифры в частном для случаев: 29: 3, 38: 9, 49: 6, 74: 8, 92: 3. Поэтому такие упражнения должны постоянно включаться в устный счёт на уроках.
Известно, что, определяя количество цифр в частном, учащиеся ориентируются на знание разрядного состава числа, умение определять количество десятков, сотен, тысяч и т.д. в делимом, чтобы выделить неполное делимое.
Подобные упражнения на выделение первого неполного делимого для определения количества цифр в частном можно включать в устный счёт и при этом не производить сами вычисления.
Выделив первое неполное делимое, обозначающее сотни тысяч, учащиеся утверждают, что число, получаемое в частном, должно содержать пять цифр, а оно содержит четыре цифры.
Упражнения на определение количества цифр при делении одного и того же числа на разные числа показывают детям, что количество цифр в частном будет разным и оно зависит от правильного определения первого неполного делимого.
Особое внимание следует уделить правилу деления нуля на число, отличное от нуля.
Необходимо также отметить, что в большинстве учебников для начальной школы мало, а порой и совсем отсутствуют задания, в которых меньшее число делится на большее, делимое меньше делителя. На такие задания следует обратить особое внимание, показать учащимся, как можно найти ответ и его проверить.
Можно также отметить, что если делим меньшее число на большее, то в частном будет ноль, а это число (делимое) будет остатком. И дать это учащимся в виде правила.
Для развития вычислительных навыков, учащихся многие учителя используют индивидуальные карточки. Обобщив свой опыт и опыт учителей, мы рекомендуем вам вариант таких карточек (примеры карточек есть в оригинале статьи).
5. Интересные приемы и методы устных вычислений
Автор: И.Л. Кустова
Журнал: «Начальная школа плюс До и После» (Выпуск №5, 2004)
Главная мысль:
Некоторые приемы и методики устных вычислений.
I. Умножение на 11.
При умножении числа на 11 можно применить два способа вычислений.
1. Представим число 11 в виде суммы двух слагаемых (10 + 1) и решим:
24 · 11 = 24 · (10 + 1) = 240 + 24 = 264
2. Когда сумма цифр множимого меньше 10, то в произведении цифры множимого как бы раздвигаем и между ними вписываем сумму цифр множимого:
(2 + 4 = 6), 24 · 11 = 264
