Дисперсионный анализ экспериментов в рамках факторного. Однофакторный и двухфакторный. F-критерий

Двухфакторный дисперсионный анализ применяется для того, чтобы проверить возможную зависимость результативного признака от двух факторов - A и B. Тогда a - число градаций фактора A и b - число градаций фактора B.

Суть дисперсионного анализа сводится к изучению влияния одной или нескольких независимых переменных, обычно именуемых факторами, на зависимую переменную. Зависимые переменные представлены значениями абсолютных шкал (шкала отношений). Независимые переменные являются номинативными (шкала наименований), то есть отражают групповую принадлежность, и могут иметь два или более значения (типа, градации или уровня). Примерами независимой переменной {\displaystyle X_{i}} с двумя значениями могут служить пол (женский: {\displaystyle X_{1}}, мужской: {\displaystyle X_{2}}) или тип экспериментальной группы (контрольная: {\displaystyle X_{1}}, экспериментальная: {\displaystyle X_{2}}). Градации, соответствующие независимым выборкам объектов, называются межгрупповыми, а градации, соответствующие зависимым выборкам, — внутригрупповыми.

В зависимости от типа и количества переменных различают:

однофакторный и многофакторный дисперсионный анализ (одна или несколько независимых переменных);
одномерный и многомерный дисперсионный анализ (одна или несколько зависимых переменных);
дисперсионный анализ с повторными измерениями (для зависимых выборок);
дисперсионный анализ с постоянными факторами, случайными факторами, и смешанные модели с факторами обоих типов;

Однофакторный дисперсионный анализ для несвязанных выборок

Назначение метода

Метод однофакторного дисперсионного анализа применяется в тех случаях, когда исследуются изменения результативного признака под влиянием изменяющихся условий или градаций какого-либо фактора. В данном варианте метода влиянию каждой из градаций фактора подвергаются разные выборки испытуемых. Градаций фактора должно быть не менее трех. (Градаций может быть и две, но в этом случае мы не сможем установить нелинейных зависимостей и более разумным представляется использование более простых).

Непараметрическим вариантом этого вида анализа является критерий Н Крускала-Уоллиса.

Гипотезы

H₀: Различия между градациями фактора (разными условиями) являются не более выраженными, чем случайные различия внутри каждой группы.

H₁: Различия между градациями фактора (разными условиями) являются более выраженными, чем случайные различия внутри каждой группы.

Ограничения метода однофакторного дисперсионного анализа для несвязанных выборок

1. Однофакторный дисперсионный анализ требует не менее трех градаций фактора и не менее двух испытуемых в каждой градации.

2. Результативный признак должен быть нормально распределен в исследуемой выборке.

Двухфакторный дисперсионный анализ

Цель: Научиться применять критерии математической статистики для психологических задач типа: исследованиевлияния двух признаков на третий.

Задача:

1. Решение задач с применением двухфакторного дисперсионного анализа.

2. Показать способы интерпретации результатов, где в обработке применяются данные критерия.

Теория:

Данный вариант дисперсионного анализа применяется тогда, когда изучается влияние двух факторов на исследуемый признак. Например, как влияют возраст и пол на осознание собственный страхов у детей. При этом можно выявить влияние отдельных факторов на исследуемый признак, а также влияние взаимодействия этих факторов. В результате вычисления данного варианта критерия получаются три эмпирических значения и, следовательно, три вывода.

Ограничения:

1) у каждого фактора должно быть не менее двух градаций;

2) в каждой ячейке комплекса не менее двух наблюдений;

3) в ячейках комплекса должно быть одинаковое количество значений;

4) комплекс должен представлять собой симметричную систему, т.е. каждой градации фактора А должно соответствовать одинаковое количество градаций фактора В;

5) исследуемый признак должен быть нормально распределен;

6) факторы должны быть независимыми.

Критерий Фишера

Критерий Фишера применяется при проверке гипотезы о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей, распределенных по нормальному закону. Он является параметрическим критерием.

F-критерий Фишера называют дисперсионным отношением, так как он формируется как отношение двух сравниваемых несмещенных оценок дисперсий.

Пусть в результате наблюдений получены две выборки. По ним вычислены дисперсии и , имеющие и степеней свободы. Будем считать, что первая выборка взята из генеральной совокупности с дисперсией , а вторая – из генеральной совокупности с дисперсией . Выдвигается нулевая гипотеза о равенстве двух дисперсий, т.е. H₀: или . Для того, чтобы отвергнуть эту гипотезу нужно доказать значимость различия при заданном уровне значимости .

Значение критерия вычисляется по формуле:

Очевидно, что при равенстве дисперсий величина критерия будет равна единице. В остальных случаях она будет больше (меньше) единицы.

Критерий имеет распределение Фишера . Критерий Фишера – двусторонний критерий, и нулевая гипотеза отвергается в пользу альтернативной если . Здесь , где – объем первой и второй выборки соответственно.