Точка, сумма расстояний от которой до сторон равнобедренного треугольника наименьшая

Исследовательский проект: «Нахождение наименьшей суммы расстояний до сторон треугольника и четырехугольника»

Введение

Актуальность. Геометрия - это раздел математики, который рассматривает различные фигуры и их свойства. Геометрия начинается с треугольника. Вот уже два с половиной тысячелетия треугольник является символом геометрии; но он не только символ, треугольник - атом геометрии.

Удивительно, но треугольник, несмотря на свою кажущуюся простоту, является неисчерпаемым объектом изучения - никто даже в наше время не осмелится сказать, что изучил и знает все свойства треугольника. Значит, изучение школьной геометрии не может осуществляться без глубокого изучения геометрии треугольника; ввиду многообразия треугольника как объекта изучения - а, значит, и источника различных методик его изучения.

На протяжении всего курса математики школьники знакомятся с различными типами задач, особую категорию среди геометрических задач занимают задачи на построение. Начиная с 7 класса, учащиеся встречаются с простейшими задачами на построение с помощью циркуля и линейки без делений треугольника по трем элементам. Затем задача усложнилась: необходимо на плоскости найти точки, обладающие определенными свойствами. Изучая различные задачи на построения связанные с точками треугольника, мы бы хотели поподробнее остановиться на следующей задаче: «Найти точку, в которой сумма расстояний до сторон треугольника была бы наименьшей». Изучая вопрос нахождения этой точки в правильном треугольнике, мы рассмотрели обобщение теоремы Вивиани на правильные многоугольники, в связи с этим мы решили рассмотреть вопрос о нахождении данной точки в четырехугольниках различного вида.

 

В соответствии с выдвинутой темой мы сформулировали следующие цели и задачи исследования.

Цель: установить, где будет находиться точка, сумма расстояний от которой до сторон треугольника и четырехугольника будет наименьшей.

Задачи:

- изучить научную литературу по данной теме,

- рассмотреть задачу о нахождении точки, сумма расстояний от которой до сторон треугольников различного вида является минимальной;

- рассмотреть задачу о нахождении точки, сумма расстояний от которой до сторон параллелограмма является минимальной;

- рассмотреть задачу о нахождении точки, сумма расстояний от которой до сторон трапеции является минимальной;

- построить динамические модели для различных типов треугольников и четырехугольников в компьютерной программе «GeoGebra».

Объект: задача о нахождении точки, сумма расстояний от которой до сторон треугольника и четырехугольника является минимальной.

Предмет: свойства точки, сумма расстояний от которой до сторон треугольников и четырехугольников различного вида является минимальной.

 

 

Точка, сумма расстояний от которой до сторон равнобедренного треугольника наименьшая

1. Найти ГМТ, сумма расстояний от которых до сторон равнобедренного треугольника минимальна, если угол между равными сторонами меньше 60°.

Пусть точка Х отличная от D. КХ,LX,МX – расстояния от точки Х до сторон треугольника АС, СВ и АВ соответственно.

Обозначим расстояния КХ,LX,МX как d1, d2, d3.

Нам нужно найти минимум суммы трех переменных: d1 +d2 + d3. Уменьшим количество переменных:

SАВС=SACX + SAХB + SХСB = =1/2d1*АС+1/2d2*СВ+1/2d3*АВ, Отсюда d1+ d3=2SABC/AC – (BC/AC)*d2. Тогда d1 +d2 + d3 = d2 + 2SABC/AC – (BC/AC)*d2= 2SABC/AC +(1- (BC/AC))*d2.

Так как при β<60˚ ВС<AC, следовательно, 1- (BC/AC)>0. В этом случае для того, чтобы d1 +d2 + d3 была минимальной необходимо, чтобы d2=0. То есть точка Х лежит на ВС. Докажем, что сумма расстояний от любой точки на основании равнобедренного треугольника до боковых сторон не зависит от положения этой точки. Пусть H – произвольная точка на основании СВ равнобедренного треугольника АВС (АС=АВ). НG и HI – перпендикуляры, проведенные из точки Н к прямым АС и АВ. SАВС=SACH+SAHB=1/2АС*HG+1/2AB*HI=1/2AB*(HG+HI)

Отсюда следует, что HG+HI = 2SАВС/АВ, то есть сумма HG+HI не зависит от выбора точки Н.

2. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки, лежащей на основании равнобедренного треугольника, до боковых сторон постоянна.

Решение

Пусть точка M лежит на основании AB равнобедренного треугольника ABC, AC = BC = a, h_a и h_b – расстояния от M до сторон BC и AC соответственно. Тогда 2 S_ABC = 2 S_BCM + 2 S_ACM = a (h_a + h_b), откуда h_a + h_b = ^S_ABC / _a.