Дан треугольник ABC. Найдите внутри его точку O, для которой сумма длин отрезков OA, OB, OC минимальна. (Обратите внимание на тот случай, когда один из углов треугольника больше 120°.)
Предположим сначала, что все углы треугольника ABC меньше 120°. Тогда внутри его существует точка O,из которой все стороны видны под углом 120°. Проведем через вершины A, B и C прямые, перпендикулярные отрезкам OA, OB и OC. Эти прямые образуют правильный треугольник A 1 B 1 C 1 (рис. 11.3). Пусть O - любая точка, лежащая внутри треугольника ABC и отличная от точки O. Докажем, что тогда OA + OB + OC > OA + OB + OC, т. е. O - искомая точка. Пусть A, B и C - основания перпендикуляров, опущенных из точки O на стороны B 1 C 1, C 1 A 1 и A 1 B 1, a - длина стороны правильного треугольника A 1 B 1 C 1. Тогда OA + OB + OC = 2(SOB 1 C 1 + SO A 1 B 1 + SO A 1 C 1)/ a = 2 SA 1 B 1 C 1/ a = OA + OB + OC. Так как наклонная длиннее перпендикуляра, то OA + OB + OC > OА + OB + OC = OA + OB + OC.
Пусть теперь один из углов треугольника ABC, например угол C, больше 120°. Проведем через точки A и B перпендикуляры B 1 C 1 и C 1 A 1 к отрезкам CA и CB, а через точку C - прямую A 1 B 1 перпендикулярную биссектрисе угла ACB (рис. 11.4). Так как AC 1 B = 180° – ACB < 60°, то B 1 C 1 > A 1 B 1. Пусть O - любая точка, лежащая внутри треугольника A 1 B 1 C 1. Поскольку B 1 C 1 · O A + C 1 A 1 · O B + A 1 B 1 · O C = 2 SA 1 B 1 C 1, то (O A + O B + O C ) · B 1 C 1 = 2 SA 1 B 1 C 1 + (B 1 C 1 – A 1 B 1) · O C . Так как B 1 C 1 > A 1 B 1, то сумма O A + O B + O C минимальна для точек, лежащих на стороне B 1 A 1. Ясно также, что O A + O B + O C O A + O B + O C . Следовательно, искомой точкой является вершина C.
|
|
|
Точка, сумма расстояний от которой до сторон прямоугольного треугольника наименьшая
На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC взята точка X; M и N - ее проекции на катеты AC и BC. При каком положении точки X длина отрезка MN будет наименьшей?
Доказательство: Так как CMXN - прямоугольник, то MN = CX. Поэтому длина отрезка MN будет наименьшей, если CX - высота.
Теорема Вивиани
Теорема Вивиани. Сумма расстояний от точки, находящейся внутри правильного треугольника, до трех сторон треугольника равна высоте треугольника независимо от выбора точки.
Эта теорема названа в честь итальянского математика Винченцо Вивиани (1622-1703), уроженца Флоренции. Галилео Галилей был настолько впечатлен талантом Вивиани, что стал работать с ним как с соавтором, когда тому было только 17 лет. Работали они вместе на вилле Арчетри, где он жил, выйдя в отставку будучи осужденным церковью, до своей смерти в 1642 году.
Винченцо Вивиани
После смерти Галилея, в 1655 году, Вивиани составил и опубликовал свою работу, а также написал биографию Галилея, которая была опубликована уже после его смерти, в 1717 году.
|
|
В Музее Истории Флоренции на картине Тито Лесси можно увидеть Галилео Галилея со своим ассистентом Винченцо Вивиани.
В 1690 году Вивиани опубликовал итальянский перевод Евклида и переводы работ Архимеда и Аполлония.
Кроме того, он изучал инженерное дело и сопротивление материалов. Совместно с Борелли он рассчитал скорость звука в воздухе, получив результат м/с. Это приближение было гораздо лучше, чем полученное ранее — м/с, в то время как в действительности скорость звука составляет м/с.
Галилей и Вивиани
Кроме того, одна кривая названа кривой Вивиани. Она определяется как пересечение цилиндра со сферой, радиус которой равен диаметру цилиндра, при условии, что цилиндр проходит через центр сферы.
Кривая Вивиани