Способы задания множеств

ПЛАН

1. Понятие множества.

2. Способы задания множеств.

3. Отношения между множествами.

4. Операции над множествами.

5. Свойства операций над множествами.

6. Понятие «система счисления».

7. Непозиционная система счисления.

8. Позиционная система счисления.

9. Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

Понятие множества.

Для сокращенной записи будем использовать следующие символы:

• a Î A - а является элементом множества А;

• a Ï  A - а не является элементом множества А;

•  - пустое множество;

• { a, d, с } - множество, состоящее из трех элементов a, d и с;

• { х | Р (х)} - множество, состоящее из таких элементов х, для которых истинно утверждение Р (х);

• A È B - объединение множеств A и В;

• A Ç B - пересечение множеств А и В;

• A Ì B - А является подмножеством В;

• А \ В - разность множеств А и В;

•  - дополнение множества А до универсального множества;

• U - универсальное множество;

• a R b - между a и b существует бинарное отношение R.

Множество является самым широким понятием в математике и поэтому принимается без определения. Множество считается заданным, если относительно каждого объекта можно сказать, принадлежит он данному множеству или нет. Поэтому обычно говорят о множестве как о наборе предметов (элементов множества), наделённых определёнными общими свойствами. Множество книг в библиотеке, множество автомобилей на стоянке, множество звёзд на небосводе, растительный и животный мир Земли - всё это примеры множеств.

Конечное множество состоит из конечного числа элементов, например, множество страниц в книге, множество учеников в школе и т.д.

Пустое множество () не содержит ни одного элемента, например, множество крылатых слонов, множество корней уравнения sin x = 2 и т.д.

Бесконечное множество состоит из бесконечного числа элементов, т.е. это множество, которое не является ни конечным, ни пустым. Примеры: множество действительных чисел, множество точек плоскости, множество атомов во Вселенной и т.д.

Счётное множество - множество, элементы которого можно пронумеровать. Например, множества натуральных, чётных, нечётных чисел. Счётное множество может быть конечным (множество книг в библиотеке) или бесконечным (множество целых чисел, его элементы можно пронумеровать следующим образом:

элементы множества:..., -5, - 4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,...

номера элементов:... 11 9 7 5 3 1 2 4 6 8 10...).

Несчётное множество - множество, элементы которого невозможно пронумеровать. Например, множество действительных чисел. Несчётное множество может быть только бесконечным.

Выпуклое множество - множество, которое наряду с любыми двумя точками А и В содержит также весь отрезок АВ. Примеры выпуклых множеств: прямая, плоскость, круг. Однако, окружность не является выпуклым множеством.

 

 

Способы задания множеств.

Если объект a является элементом множества A, то говорят, что a принадлежит A, и записывают a   A. Запись a Ï A означает, что a не принадлежит A.

Множество может быть задано следующим образом:

• перечислением всех его элементов по их названиям (так описываются множество книг в библиотеке, множество учеников в классе, алфавит любого языка и т.д.);

Множество можно задать перечислением всех его элементов в любом порядке. Если множество A, например, состоит из первых четырех букв русского алфавита, то записывают

A = { а, б, в, г }.

• заданием общей характеристики (общих свойств) элементов данного множества (например, множество рациональных чисел, собаки, семейство кошачьих и т.д.);

Множество может быть задано с помощью характеристического свойства, т.е. такого свойства, которым обладают все элементы данного множества и не обладают никакие другие объекты. Если множество A задано с помощью характеристического свойства P, то записывают A = { x|p (x)}

Например, запись A = { x|x   R,— 7 < x < з} означает, что множество A состоит из всех действительных чисел, больших или равных -7 и меньших 3.

• формальным законом построения элементов множества (например, формула общего члена числовой последовательности, Периодическая система элементов Менделеева и т.д.).

Множество, состоящее из чисел, называют числовым множеством. Примерами числовых множеств являются:

N - множество натуральных чисел;

Z - множество целых чисел;

Q - множество рациональных чисел;

R - множество действительных чисел.

Пример 1.1. Запишем различными способами множество A, элементами которого являются натуральные числа, не превосходящие числа 6.

Решение. Натуральными числами, не превосходящими числа 6, являются: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Поэтому множество A можно записать так: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, или A = {1, 3, 5, 2, 4, 6}, или A = {6, 5, 4, 3, 2, 1}, или перечислением элементов в каком-либо другом порядке.

По условию множество A задано описанием характеристического свойства его элементов «Быть натуральным числом, не превосходящим числа 6». Используя это свойство, множество можно записать так: A = { x|x N,x б}.

Пример 1.2. Прочитаем различными способами следующие записи:

а) 37 N;

б) 2,5 Ï N.

Решение. а) Число 37 является натуральным. Число 37 принадлежит множеству N. Число 37 - элемент множества N. Число 37 содержится во множестве N. Множество N содержит число 37.

б) Число 2,5 не является натуральным. Число 2,5 не принадлежит множеству N. Число 2,5 не является элементом множества N. Число 2,5 не содержится во множестве N. Множество N не содержит числа 2,5.

Пример 1.3. Используя понятие характеристического свойства, зададим следующие множества:

A = {б, в, г, д, ж, з, к, л, м, н, п, р, с, т, ф, х, ц, ч, ш, щ};

B = {красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый};

C = {понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье}.

Решение. Множества A, B и C заданы способом перечисления элементов. Используя характеристические свойства, указанные множества можно задать следующим образом:

A - множество согласных букв русского алфавита;

B - множество цветов радуги;

C - множество дней недели.

Пример 1.4. Изобразим на числовой прямой элементы следующих множеств:

а) A = {x|x  N,3  x 10};

б) A = { x|x Z,—4   x < 6};

в) A = {x|x  R,-5 < x < 8};\

г) A= .