Отношения между множествами

Для наглядного представления множеств, отношений между множествами и операции над ними применяют своего рода диаграммы. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри него - кругов Эйлера, представляющих множества.

Вместо кругов Эйлера определенные множества изображают любые другие замкнутые фигуры, и такую иллюстрацию называют диаграммами Венна.

Для рассуждений, связанных с множествами, будем использовать язык диаграмм Эйлера Венна.

Область, представляющую то подмножество, которое нас интересует, отметим штрихами.

Первая диаграмма соответствует универсальному множеству U,
вторая - его пустому подмножеству,
третья - произвольному множеству А.

Если множества А и В не имеют общих элементов, то их называют непересекающимися. Диаграммы Эйлера-Венна для этого случая представлены на рисунке.

Пример 1.6. Приведем примеры множеств, находящихся диаграммах.

Решение. 1. Для случая, представленного на рисунке а, можно рассмотреть:

A - множество чисел, кратных 2;

B - множество чисел, кратных 3;

C - множество чисел, кратных 5.

Множества A и B пересекаются, так как содержат общие элементы - числа, кратные 6. Аналогично, множества B и C пересекаются, так как содержат числа, кратные 15. Множества A и C также содержат общие элементы - числа, кратные 10. Общими элементами для всех трех множеств A, B и C являются числа, кратные 30.

2. Примерами множеств, представленных на диаграмме б, могут служить:

A - множество частей речи;

B - множество существительных;

C - множество предлогов.

3. Диаграммы Эйлера-Венна будут иметь вид, представленный на рисунке в, если, например:

A - множество многоугольников;

B - множество равносторонних треугольников;

C - множество равнобедренных треугольников;

D - множество четырехугольников.

Пример 1.7. О каких множествах говорится в утверждении «Все студенты нашей группы участвовали в праздничной демонстрации»? Выделите эти множества и установите, в каких отношениях они находятся.

Решение. Выделим и обозначим множества, о которых идет речь в данном утверждении: это множество A - студентов некоторой группы и множество B - участников праздничной демонстрации. В данном утверждении сообщается, что все элементы множества A являются также элементами множества B. По определению отношения включения это означает, что A Ì B

4. Операции над множествами.