Приближенные (Итерационные) методы

Приближенное решение нелинейных алгебраических уравнений

Постановка задачи

Дано нелинейное алгебраическое уравнение

f(x) =0 (1)

Нелинейность уравнения означает, что график функции не есть прямая линия, т.е. в f(x) входит x в некоторой степени или под знаком функции.

Решить уравнение – это найти такое x* ∈ R: f (x*)=0.Значение x* называют корнем уравнения. Нелинейное уравнение может иметь несколько корней. Геометрическая интерпретация корней уравнения представлена на рис. 1. Корнями уравнения (1) являются точки x₁ *, x₂ *, x₃ *, в которых функция f (x) пересекает ось x.

 

Методы решения нелинейного уравнения(1) можно разделить на точные (аналитические) и приближенные (итерационные). В точных методах корень представляется некоторой алгебраической формулой.

Например, решение квадратных уравнений, некоторых тригонометрических уравнений и т. д.

В приближенных методах процесс нахождения решения, вообще говоря, бесконечен. Решение получается в виде бесконечной последовательности { x_n }, такой, что .

По определению предела, для любого (сколь угодно малого) ε, найдется такое N, что при n>N, |x_n – x*|<ε. Члены этой последовательности x_n называются последовательными приближениями к решению, или итерациями. Наперёд заданное число ε называют точностью метода, а N – это количество итераций, которое необходимо выполнить, чтобы получить решение с точностью ε.

Существует различные методы нахождения приближенного решения, т.е. способы построения последовательности итераций { x_n }, однако все они имеют общие этапы, изображенные на рисунке.

Наиболее часто используется следующий критерий остановки итерационного процесса: |x_n+1 – x_n|<ε, т.е. разница между соседними итерациями становится малой. Также для окончания итерационного процесса используется условие |f(x_n)|< ε, где f (x_n)– невязка метода.

Прежде чем использовать приближенный метод, уравнение надо исследовать его на наличие корней и уточнить, где эти корни находятся, т.е. найти интервалы изоляции корней. Интервалом изоляции корня называется отрезок, на котором корень уравнения существует и единственен.

Необходимое условие существования корня уравнения на отрезке [a,b]: Пусть f (x) непрерывна и f (a) f (b) <0 (т.е., на концах интервала функция имеет разные знаки). Тогда внутри отрезка [ a, b ] существует хотя бы один корень уравнения f (x) =0.

Достаточное условие единственности корня на отрезке [a,b]:

Корень будет единственным, если f (a) f (b) <0 и f ^/ (x) не меняет знак на отрезке [ a, b ], т.е. f (x) – монотонная функция, в этом случае отрезок [a,b] будет интервалом изоляции.

Если корней несколько, то для каждого нужно найти интервал изоляции.

Существуют различные способы исследования функции: аналитический, табличный, графический.

Аналитический способ состоит в нахождении экстремумов функции f (x), исследование ее поведения при и нахождение участков возрастания и убывания функции.

Графический способ – это построение графика функции f (x) и определение числа корней по количеству пересечений графика с осью x.

Табличный способ – это построение таблицы, состоящей из столбца аргумента x и столбца значений функции f (x). О наличии корней свидетельствуют перемены знака функции. Чтобы не произошла потеря корней, шаг изменения аргумента должен быть достаточно мелким, а интервал изменения достаточно широким.

Пример.

Решить уравнение x³‑ 6x²+3x+11=0, т.е. f(x)= x³‑ 6x²+3x+11.

Найдем производную f^/(x)=3x²-12x+3.

Найдем нули производной f^/(x)=3x²-12x+3=0; D=144-4*3*3=108;

X₁= = 0.268;

X₂= = 3.732;

Так как f^/( )>0, то f^/(x)>0 при , f^/(x)<0 при и f^/(x)>0 при . Кроме того, f( )= <0, f( )= >0. Следовательно, на интервале возрастает от до f(x₁)= 3x₁²-12x₁+3=11.39; на интервале - убывает до f(x₂)= 3x₂²-12x₂+3=-9.39 и на интервале возрастает до , т.е. уравнение имеет три корня.

Найдем интервалы изоляции для каждого из корней.

Рассмотрим для первого корня отрезок [-2, -1]:

f(-2)= -27<0, f(-1)= 1>0, f^/(x)>0 при т.е. этот отрезок является интервалом изоляции корня.

Рассмотрим для второго корня отрезок [1, 3]:

f(1)= 9>0, f(3)= -7<0, f^/(x)<0 при т.е. этот отрезок является интервалом изоляции корня.

Рассмотрим для третьего корня отрезок [4, 5]:

f(4)= -9<0, f(5)=1>0, f^/(x)>0 при т.е. этот отрезок является интервалом изоляции корня.

Табличный способ:

x	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7
f(x)	-79	-27	1	11	9	1	-7	-9	1	29	81

Графический способ

Приближенные (Итерационные) методы.

Пусть интервалы изоляции корней известны. Познакомимся с несколькими итерационными методами, позволяющими найти корень на известном интервале изоляции [ a, b ].