Лейбниц и его ученики

ВВЕДЕНИЕ

Математика - наука об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств, - именно тех, которые в качестве аксиом положены в основание той или иной математической теории. Исторически сложилась на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов. Математические объекты создаются путём идеализации свойств реальных или других математических объектов и записи этих свойств на формальном языке. Математика не относится к естественным наукам, но широко используется в них как для точной формулировки их содержания, так и для получения новых результатов. Математика — фундаментальная наука, предоставляющая (общие) языковые средства другим наукам; тем самым она выявляет их структурную взаимосвязь и способствует нахождению самых общих законов природы.

 

 

1   . Сэр Исаа́к Нью́то́н

Исаак Ньютон(1642 года - 1727 года) - английский физик, математик,механик и астроном, один из создателей классической физики. Автор фундаментального труда «Математические начала натуральной философии», в котором он изложил закон всемирного тяготения и три закона механики, ставшие основой классической механики. Разработал дифференциальное и интегральное исчисления, теорию цвета, заложил основы современной физической оптики, создал многие другие математические и физические теории.

 

Рисунок 1 Ньютон

2 Математи́ческий ана́лиз

Математический анализ (классический математический анализ) - совокупность разделов математики, соответствующих историческому разделу под наименованием «анализ бесконечно алых», объединяет дифференциальное и интегральное исчисления.

На классическом математическом анализе основывается современный анализ, который рассматривается как одно из трёх основных направлений математики (наряду с алгеброй и геометрией). При этом термин «математический анализ» в классическом понимании используется, в основном, в учебных программах и материалах. В англо-американской традиции классическому математическому анализу соответствуют программы курсов с наименованием «исчисление»

Предшественниками математического анализа были античный метод исчерпывающих и метод неделимых. Все три направления, включая анализ, роднит общая исходная идея: разложение на бесконечно малые элементы, природа которых, впрочем, представлялась авторам идеи довольно туманной. Алгебраический подход (исчисление бесконечно малых) начинает появляться у Валлиса, Джеймс Григорий и Барроу. В полной мере новое исчисление как систему создал Ньютон, который, однако, долгое время не публиковал свои открытия.

Официальной датой рождения дифференциального исчисления можно считать май 1684 года, когда Лейбниц опубликовал первую статью «Новый метод максимумов и минимумов…». Эта статья в сжатой и малодоступной форме излагала принципы нового метода, названного дифференциальным исчислением.

 

Лейбниц и его ученики

В конце XVII века вокруг Лейбница возникает кружок, виднейшими представителями которого были братья Бернулли (Якоб и Иоганна) и Лопиталь. В 1696, используя лекции И. Бернулли, Лопиталь написал первый учебник, излагавший новый метод в применении к теории плоских кривых. Он назвал его Анализ бесконечно малых, дав тем самым и одно из названий новому разделу математики. В основу изложения положено понятие переменных величин, между которыми имеется некоторая связь, из-за которой изменение одной влечёт изменение другой. У Лопиталя эта связь даётся при помощи плоских кривых: если {\displaystyle M}М — подвижная точка плоской кривой, то её декартовы координаты {\displaystyle x}X и {\displaystyle y}Y, именуемые абсциссой и ординатой кривой, суть переменные, причём изменение {\displaystyle x}X влечёт изменение {\displaystyle y}Y. Понятие функции отсутствует: желая сказать, что зависимость переменных задана, Лопиталь говорит, что «известна природа кривой».

Понятие дифференциала вводится так:

Бесконечно малая часть, на которую непрерывно увеличивается или уменьшается переменная величина, называется ее дифференциалом. Для обозначения дифференциала переменой величины, которая сама выражается одной буквой, мы будем пользоваться знаком или символом d… Бесконечно малая часть, на которую непрерывно увеличивается или уменьшается дифференциал переменной величины, называется вторым дифференциалом. 

Эти определения поясняются геометрически, при этом на рис. бесконечно малые приращения изображены конечными. Рассмотрение опирается на два требования (аксиомы).

 Первое:

Требуется, чтобы две величины, отличающиеся друг от друга лишь на бесконечно малую величину, можно было брать безразлично одну вместо другой.

Отсюда получается  {\displaystyle x+dx=x}, далее

{\displaystyle dxy=(x+dx)(y+dy)-xy=xdy+ydx+dxdy=(x+dx)dy+ydx=xdy+ydx}

и проч. Правила дифференцирования.

Рисунок 2 Касательная кривая

Второе требование гласит:

Требуется чтобы можно было рассматривать кривую линию как совокупность бесконечно множества бесконечно малых прямых линий.

Продолжение каждой такой линии называется касательной к кривой. Исследуя касательную, проходящую через точку  {\displaystyle M=(x,y)}, Лопиталь придаёт большое значение величине

{\displaystyle y{\frac {dx}{dy}}-x} ,

достигающее экстремальных значений в точка перегиба кривой, отношению же  {\displaystyle dy} к  {\displaystyle dx} не придаётся никакого особого значения.

Примечательно нахождение точек экстремума. Если при непрерывном увеличении абсциссы {\displaystyle x} ордината  {\displaystyle y} сначала возрастает, а затем убывает, то дифференциал {\displaystyle dy} сначала положителен по сравнению с  {\displaystyle dx}, а потом отрицателен.

Но всякая непрерывно возрастающая или убывающая величина не может превратиться из положительной в отрицательную, не проходя через бесконечность или нуль. Отсюда следует, что дифференциал наибольшей и наименьшей величины должны равняться нулю или бесконечности.

Вероятно, эта формулировка небезупречна, если вспомнить о первом требовании: пусть, скажем,  {\displaystyle y=x^{2}}, тогда в силу первого требования

{\displaystyle 2xdx+dx^{2}=2xdx};

в нуле правая часть равна нулю, а левая нет. Видимо следовало сказать, что  {\displaystyle dy} можно преобразовать в соответствии с первым требованием так, чтобы в точке максимума  {\displaystyle dy}{\displaystyle dy=0}. В примерах все само собой понятно, и лишь в теории точек перегиба Лопиталь пишет, что {\displaystyle dy} равен нулю в точке максимума, будучи разделён на {\displaystyle dx}.

Далее, при помощи одних дифференциалов формулируются условия экстремума и рассмотрено большое число сложных задач, относящихся в основном к дифференциальной геометрии на плоскости.

В конце книги, в гл. 10, изложено то, что теперь называют правилом Лопиталя, хотя и в не совсем обычной форме. Пусть величина ординаты {\displaystyle y} кривой выражена дробью, числитель и знаменатель которой обращаются в нуль при {\displaystyle x=a}. Тогда точка кривой с {\displaystyle x=a}. {\displaystyle x=a} имеет ординату {\displaystyle y}, равную отношению дифференциала числителя к дифференциалу знаменателя, взятому при {\displaystyle x=a}.

По замыслу Лопиталя написанное им составляло первую часть Анализа, вторая же должна была содержать интегральное исчисление, то есть способ отыскания связи переменных по известной связи их дифференциалов. Первое его изложение дано Иоганном Бернулли в его Математических лекциях о методе интеграла. Здесь дан способ взятия большинства элементарных интегралов и указаны методы решения многих дифференциальных уравнений первого порядка.

Указывая на практическую полезность и простоту нового метода Лейбниц писал:

То, что человек, сведущий в этом исчислении, может получить прямо в трёх строках, другие учёнейшие мужи принуждены были искать, следуя сложными обходными путями.

 

Эйлер

Перемены, произошедшие за последующие полвека, отражены в обширном трактате Эйлера. Изложение анализа открывает двухтомное «Введение», где собраны изыскания о различных представлениях элементарных функций. Термин «функция» впервые появляется лишь в 1692 у Лейбница, однако на первые роли его выдвинул именно Эйлер. Изначальная трактовка понятия функции состояла в том, что функция — это выражение для счёта или аналитическое выражение.

Функция переменного количества есть аналитическое выражение, оставленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств.

Подчёркивая, что «основное различие функций лежит в способе составления их из переменного и постоянных», Эйлер перечисляет действия, «посредством которых количества могут друг с другом сочетаться и перемешиваться; действиями этими являются: сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корней; сюда же следует отнести также решение [алгебраических] уравнений. Кроме этих действий, называемых алгебраическими, существует много других, трансцендентных, как то: показательные, логарифмические и бесчисленные другие, доставляемые интегральным исчислением». Такая трактовка позволяла без труда обращаться с многозначными функциями и не требовала пояснения, над каким полем рассматривается функция: выражение для счёта определено для комплексных значений переменных даже тогда, когда для рассматриваемой задачи это не нужно.

Операции в выражении допускались лишь в конечном числе, а трансцендентное проникало при помощи бесконечно большого числа {\displaystyle \infty }. В выражениях это число используется наряду с натуральными числами. Напр., считается допустимым такое выражение для экспоненты

{\displaystyle e^{x}=\left(1+{\frac {x}{\infty }}\right)^{\infty }},

в котором лишь поздние авторы видели предельный переход. С аналитическими выражениями производились разнообразные преобразования, позволившие Эйлеру найти представления для элементарных функций в виде рядов, бесконечных произведений и т. д. Эйлер преобразует выражения для счёта так, как это делают в алгебре, не обращая внимания на возможность вычислить значение функции в точке по каждой из написанных формул.

В отличие от Лопиталя Эйлер подробно рассматривает трансцендентные функции и в особенности два наиболее изученных их класса — показательные и тригонометрические. Он обнаруживает, что все элементарные функции могут быть выражены при помощи арифметических действий и двух операций — взятия логарифма и экспоненты.

Сам ход доказательства прекрасно демонстрирует технику использования бесконечно большого. Определив синус и косинус при помощи тригонометрического круга, Эйлер выводит из формул сложения следующее:

{\displaystyle (\cos x+{\sqrt {-1}}\sin x)(\cos y+{\sqrt {-1}}\sin y)=\cos {(x+y)}+{\sqrt {-1}}\sin {(x+y)},}

а отсюда                     

)^{n n}{\displaystyle 2\cos nx=(\cos x+{\sqrt {-1}}\sin x)^{n}+(\cos x-{\sqrt {-1}}\sin x)^{n}}

Полагая {\displaystyle n=\infty } и {\displaystyle z=nx}, он получает

{\displaystyle 2\cos z=\left(1+{\frac {{\sqrt {-1}}z}{\infty }}\right)^{\infty }+\left(1-{\frac {{\sqrt {-1}}z}{\infty }}\right)^{\infty }=e^{{\sqrt {-1}}z}+e^{-{\sqrt {-1}}z}},

отбрасывая бесконечно малые величины большего порядка. {\displaystyle e^{{\sqrt {-1}}x}=\cos {x}+{\sqrt {-1}}\sin {x}}

Указав различные выражения для функций, которые теперь называют элементарными, Эйлер переходит к рассмотрению кривых на плоскости, начертанным свободным движением руки. По его мнению, не для всякой такой кривой можно отыскать единое аналитическое выражение. В XIX веке с подачи Казорати это утверждение считалось ошибочным: по теореме Вейерштрасса всякая непрерывная в современном смысле кривая может быть приближенно описана полиномами. На самом деле Эйлера это едва ли убедило, ведь нужно ещё переписать предельный переход при помощи символа {\displaystyle \infty } .

Изложение дифференциального исчисления Эйлер начинает с теории конечных разностей, за ним в третьей главе следует философское разъяснение о том, что «бесконечно малое количество есть точно нуль», более всего не устроившее современников Эйлера. Затем из конечных разностей при бесконечно малом приращении образуются дифференциалы, а из интерполяционной формулы Ньютона – формула Тейлора. Этот метод в существенном восходит к работам Тейлора (1715 г.). При этом у Эйлера появляется устойчивое отношение {\displaystyle {\frac {d^{k}y}{dx^{k}}}}, которое, однако, рассматривается как отношение двух бесконечно малых. Последние главы посвящены приближенному вычислению при помощи рядов.

В трёхтомном интегральном исчислении Эйлер вводит понятие интеграла так:

Та функция, дифференциал который , нарывается его интегралом и обозначается знаком , поставленным спереди.

В целом же эта часть трактата Эйлера посвящена более общей с современной точки зрения задаче об интегрировании дифференциальных уравнений. При этом Эйлер находит ряд интегралов и дифференциальных уравнений, которые приводят к новым функциям, напр., {\displaystyle \Gamma }- функции, эллиптические функции и т. д. Строгое доказательство их не элементарности было дано в 1830-х годах Якоби для эллиптических функций и Лиувиллем.

 

Лагранж

Следующим крупным произведением, сыгравшим значительную роль в развитии концепции анализа, явилась Теория аналитических функций Лагранжа и обширный пересказ работ Лагранжа, выполненный Лакруа, в несколько эклектической манере.

Желая избавиться от бесконечно малого вовсе, Лагранж обратил связь между производными и рядом Тейлора. Под аналитической функцией Лагранж понимал произвольную функцию, исследуемую методами анализа. Саму функцию он обозначил как {\displaystyle f(x)}, дав графический способ записи зависимости — ранее же Эйлер обходился одними переменными. Для применения методов анализа по мнению Лагранжа необходимо, чтобы функция разлагалась в ряд

{\displaystyle f(x+h)=f(x)+ph+qh^{2}+\dots },

коэффициенты которого будут новыми функциями {\displaystyle x}. Остаётся назвать {\displaystyle p} производной (дифференциальным коэффициентом) и обозначить его как {\displaystyle f'(x)}. Таким образом, понятие производной вводится на второй странице трактата и без помощи бесконечно малых. Остаётся заметить, что

{\displaystyle f'(x+h)=p+2qh+\dots },  

поэтому коэффициент {\displaystyle q} является удвоенной производной производной {\displaystyle f(x)}, то есть

{\displaystyle q={\frac {1}{2!}}f''(x)} и т. д

Такой подход к трактовке понятия производной используется в современной алгебре и послужил основой для создания теории аналитических функций Вейерштрасса.

Лагранж оперировал такими рядами как формальными и получил ряд замечательных теорем. В частности, впервые и вполне строго доказал разрешимость начальной задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений в формальных степенных рядах

Вопрос об оценке точности приближений, доставляемых частными суммами ряда Тейлора, впервые был поставлен именно Лагранжем: в конце Теории аналитических функций он вывел то, что теперь называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа Однако, в противоположность современным авторам, Лагранж не видел нужды в употреблении этого результата для обоснования сходимости ряда Тейлора.

Вопрос о том, действительно ли функции, употребимые в анализе, могут быть разложены в степенной ряд, впоследствии стал предметом дискуссии. Конечно, Лагранжу было известно, что в некоторых точках элементарные функции могут не разлагаться в степенной ряд, однако в этих точках они и недифференцируемы ни в каком смысле. Коши в своём Алгебраическом анализе привёл в качестве контрпримера функцию

{\displaystyle f(x)=e^{-1/x^{2}},}

доопределённую нулём в нуле. Эта функция всюду гладкая на вещественной оси и в нуле имеет нулевой ряд Маклорена, который, следовательно, не сходится к значению {\displaystyle f(x)}. Против этого примера Пуассон возразил, что Лагранж определял функцию как единое аналитическое выражение, в примере Коши же функция задана по-разному в нуле, и при {\displaystyle x\not =0}.

Лишь в конце XIX века Прингсхайм доказал, что существует бесконечно дифференцируемая функция, заданная единым выражением, ряд Маклорена для которой расходится. Пример такой функции представляет выражение

{\displaystyle \Psi (x)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {\cos {(3^{k}x)}}{k!}}}