Задачи на лето, 8 – 9 классы

1.Прямая, параллельная выделенной стороне треугольника площади 16, отсекает от него треугольник площади 9. Найдите площадь четырёхугольника, три вершины которого совпадают с вершинами меньшего треугольника, а четвёртая лежит на выделенной стороне.

2.Сколькии способами тренер может скомплектовать хоккейную команду, состоящую из одного вратаря, двух защитников и трёх нападающих, если в его распоряжении есть 2 вратаря, 5 защитников и 8 нападающих?

3.Продукт, содержавший первоначально 99% воды, за некоторое время высох и стал содержать 97% воды. Во сколько раз он усох (то есть уменьшил свой вес)?

4.В прямоугольном треугольнике  угол  прямой. На стороне  как на диаметре построена окружность. Из точки  проведена касательная к окружности, отличная от , и  – точка касания. Точка  является основанием перпендикуляра, проведенного из точки  на сторону . Найдите отношение , где  – точка пересечения .

5.Три сестры пришли на рынок и продавали поштучно цыплят. Первая принесла 12 цыплят, вторая – 18, третья – 32 цыплёнка. Каждая из них часть товара продал утром, а часть – вечером. Утренняя цена одного цыплёнка была у всех сестёр одинаковая, и вечерняя цена тоже одинаковая, но более низкая (положительная). К вечеру весь товар был распродан, и дневная выручка (за утро и вечер) у всех сестёр оказалось одинаковой: 170 рублей. Найдите суммарную вечернюю выручку (в рублях) всех сестёр.

6.Найдите все значения , при которых существуют положительные решения неравенства . В ответе укажите сумму всех найденных целых значений .

7.Найдите сумму всех двузначных чисел, у каждого из которых сумма квадратов цифр на 37 больше произведения цифр.

8.Три пирата Джо, Билл и Том нашли клад, содержащий 70 одинаковых золотых монет, и хотят разделить их так, чтобы каждому досталось не менее 10 монет. Сколько существует способов это сделать?

9.Найдие сумму цифр числа .

10.Петя заметил, что поезд прошёл мимо него за 25 секунд, а мост длиной 60 метров – за 28 секунд. Найдите скорость поезда (в м/с), считая, что она остаётся одной и той же в течение всего времени наблюдения.

11.Окружностть касается сторон угла в точках . Расстояния от лежащей на окружности точки  до сторон угла равны 2 и 8. Найдите расстояние от точки  до прямой .

12.Найдите делимое, если каждый знак * в приведённой записи деления чисел «в столбик» обозначает какую-либо цифру:

        

13.Найдите наименьшее натуральное , для которого существует такое натуральное , что наборы последних 2014 цифр в записи чисел  одинаковы, причём .

14.Из вершины  треугольника  проведена прямая, пересекающая сторону  в точке . Найдите высоту  треугольника , если известно, что центр описанной вокруг треугольника  окружности лежит на луче , а отношение котангенсов углов  и  соответственно равно 0,75.

15.На соревнованиях по бегу нужно пробежать дистанцию в 3 одинаковых круга, при этом круг содержит целое число километров. Тренер заметил, что второй круг спортсмен пробежал за 22 минуты. За сколько минут спортсмен пробежит всю дистанцию, если время прохождения им каждого километра, начиная со второго, увеличивается в арифметической прогрессии?

16.В подземелье у гномов в один ряд стоят 2016 сундуков с сокровищами: некоторые из них закрыты, некоторые – открыты. Гном по имени Открывай проходит вдоль ряда и открывает каждый сундук, который до этого был закрыт. Затем гном по имени Закрывай подходит к каждому второму сундуку и, если он открыт, закрывает его. Потом гном Открывай подходит к каждому третьему сундуку и, если он закрыт, открывает его. Затем гном по имени Закрывай подходит к каждому четвёртому сундуку и, если он открыт, закрывает его, и так далее. Всего гномы Закрывай и Открывай сделали 2016 проходов вдоль ряда. Сколько сундуков окажется после всего этого закрытыми?

17.К равнобедренному треугольнику  с основанием  достроили другой равнобедренный треугольник  с основанием  так, что оба треугольника не имеют общих точек, кроме точек стороны . Точка  – точка пересечения прямой  с окружностью, описанной вокруг треугольника . Найдите отношение основания  к радиусу этой окружности, если  и .

18.Определите, сколько решений в целых числах имеет уравнение

19.В школьной олимпиаде участвовали команды 9А, 9Б, 9В классов. В каждом из соревнований какая-то из этих команд заняла 1-е место, какая-то – 2-е и какая-то – 3-е. По окончании спартакиады были подсчитаны очки:  очков присуждалось за 1 место,  – за второе,  – за третье  – целые числа). В итоге команда 9А получила 22 очка, а команды 9Б и 9В – по 9 очков. Сколько всего было соревнований, и кто занял второе место в соревновании по метанию гранаты, если известно, что первое место по прыжкам через «козла» заняла команда 9В?

20.Найдите сумму всех натуральных чисел, имеющих ровно 4 натуральных делителя, три из которых (из делителей) меньше 15, а четвёртый – не меньше 15.

21.В уравнении  за один шаг разрешается один из коэффициентов увеличивать или уменьшать на 1. Можно ли из уравнения  за какое-то количество шагов получить уравнение , чтобы ни одно промежуточное уравнение не имело целых корней?

22.Изобразите на координатной плоскости множество таких точек , что уравнение

 имеет два корня, один из которых больше 2, а другой – меньше 0.

23.Найдите площадь треугольника, если известно, что радиус вписанной окружности равен 1, а длины всех трёх высот выражаются целыми числами.

 

24.На столе стоит 2014 коробок, в некоторых из них есть конфеты, а остальные пусты.

На первой коробке написано: «Все коробки пустые».

На второй – «По крайней мере, 2013 коробок пустые».

На третьей – «По крайней мере, 2012 коробок пустые».

…

На 2014-й – «По крайней мере, одна коробка пустая».

Известно, что надписи на пустых коробках ложны, а на коробках с конфетами – истинные. Определите количество коробок с конфетами.

25.Имеется 10 отрезков, длина каждого из которых выражается целым числом, не превосходящим некоторого .

А) Пусть . Приведите пример набора из 10 отрезков, такого, что ни из каких трёх нельзя сложить треугольник.

Б) Найдите максимальное , при котором можно гарантировать, что найдутся три отрезка, из которых можно сложить треугольник.

26.Можно ли найти 100 последовательных натуральных чисел, первое из которых делится на 3, второе – а 5, третье – на 7, …, 100-е – на 201?

27.Какова наибольшая возможная площадь четырёхугольника , у которого

?

28.Найдите наименьшее возможное значение , если  – натуральные числа.

29.Целые числа  таковы, что . Каково минимальное значение  при этом условии?

30.Найдите , при котором  имеет два различных действительных корня, удовлетворяющих соотношению .

31.В ряд стоят 8 чисел так, что сумма каждых трёх соседних чисел равняется 50. Известны первое и последнее числа из этих восьми. Заполните оставшиеся шесть пустых мест ряда в следующем случае: 11 _ _ _ _ _ _ 12.

32.Сколько существует различных прямоугольных треугольников, один из катетов которых равен , а другой катет и гипотенуза выражаются натуральными числами?

33.Число  делится на 2016, а число  делится на 2015. Найдите наименьшее натуральное , при котором это возможно.   

34.В периодической десятичной дроби 0,2422424… первую цифру после запятой заменили на 4. Во сколько раз полученное число больше исходного?

 

 

35.Окружность радиуса  проходит через вершины  треугольника  и пересекает стороны  в точках  соответственно. Найдите площадь треугольника , если , а центр окружности находится внутри треугольника  на расстоянии 10 от точки .

36.Можно ли представить выражение

 в виде квадрата некоторого многочлена от переменных ?

37.Найдите все значения , при каждом из которых уравнение  имеет два корня , удовлетворяющие неравенству .

38.Гипербола  пересекается с прямой  в точках , а с прямой  – в точках . Найдите координаты точки, равноудалённой от точек .

39.Два мальчика в течение нескольких часов ходили кругами вокруг здания, оба по часовой стрелке, каждый с постоянной скоростью. Более быстрый проходил один круг за 5 минут, а более медленный – за некоторое целое число минут. При этом время между встречами тоже равнялось некоторому целому числу минут, причём оно было не меньше 12. За какое время более медленный мальчик проходил полный круг?

40.Найдите минимальное значение выражения  при условии .

41.Решите в натуральных числах уравнение . В ответе укажите произведение .

42.Петя хотел нарисовать правильный треугольник . Но, поскольку он рисовал неточно, получился треугольник с углами . Потом Петя провёл высоты , но так как треугольник был слегка перекошен, получил углы . Найдите градусную меру угла .

43.В четырёхугольнике  известно, что , углы  – прямые. Из вершины  опущен перпендикуляр  на сторону . Найдите площадь четырёхугольника , если известно, что .

44.В трапеции диагонали пересекаются под прямым углом. Одна из диагоналей равна средней линии. Определите, какой угол она образует с основаниями трапеции.

45.Числа 1, 2, …, 2016 разбили на пары, при этом оказалось, что произведение чисел в каждой паре не превосходит некоторого натурального числа . При каком наименьшем  это возможно?

46.  – арифметическая прогрессия, все члены которой – натуральные числа. Разность прогрессии равна 6. Докажите, что не менее 250 членов прогрессии – составные числа.

47.Целое число увеличили на 2, при этом его квадрат уменьшился на 2016. Каким число было в начале (до своего увеличения)?

48.Найдите наибольшее натуральное число, которое невозможно представить в виде суммы двух составных чисел.

49.Решите уравнение .

50.Найдите все натуральные числа, которые в 36 раз больше суммы своих цифр.

51.Пусть , где  – некоторые коэффициенты. На какую наименьшую величину может отличаться наибольшее значение функции  от наименьшего значения этой функции на отрезке ?

52.Решите уравнение в целых числах .

53.Найдите минимальное возможное значение суммы  натуральных чисел , если известно, что квадратные уравнения  имеет по крайней мере один общий действительный корень.

54.В прямоугольном треугольнике  (угол  – прямой) длины катетов  равны 1 и  соответственно. Найдите угол между медианами  треугольника .

55.Найдите все такие натуральные простые числа , что  – натуральное простое число.

56.На столе лежат 15 карточек, на которых написаны числа от 1 до 15 (по одному числу на каждой карточке). Петя и Вася играют в такую игру. Они ходят по очереди; первым делает ход Петя. На каждом ходу игрок должен взять одну из карточек, лежащих на столе и положить её в коробку. Проигрывает тот игрок, после хода которого сумма чисел на карточках в коробке окажется большей 72. Кто выиграет при правильной игре – Петя или Вася? Укажите, как должен играть этот игрок, чтобы обеспечить себе победу независимо от ходов соперника.

57.Найдите все действительные решения системы уравнений  удовлетворяющие неравенству .

58.Найдите все натуральные , при которых число  является квадратом некоторого натурального числа.

59.В треугольнике  угол  равен 120⁰. Окружность, касающаяся сторон  и , пересекает сторону  в точках  так, что . Найдите площадь треугольника .

60.Дана квадратная доска . В некоторые её клетки расставлены фишки так, что в любом квадратике  этой доски находится не менее двух фишек. Какое наименьшее число фишек может стоять на этой доске?