2020-06-29
103
a) Введем систему координат, как показано на рисунке. Найдем координаты точек A, B и C 1. Пусть 
а радиус основания — r, тогда 
Найдем координаты векторов 
и 
Найдем скалярное произведение векторов и 
Значит, угол АВС 1 прямой.
15. Решите неравенство 
Решение.
Левая часть неравенства определена при 
При этих значениях переменной
и тогда
Ответ: 
Примечание о неравенстве (*).
При 
левая часть неравенства (*) положительна, поэтому на множестве решений правая часть неравенства (*) также будет положительна (большее положительного положительно). Тем самым, при найденных значениях переменной правая часть исходного неравенства определена, поэтому все они входят в ответ. При таком решении не требуется искать ОДЗ исходного неравенства и решать для этого неравенство 
16. На отрезке BD взята точка C. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием BC является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.
а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.
|
|
|
б) Известно, что 
В каком отношении прямая DL делит сторону AB?
Решение.
а) Пусть углы при основании ВС равнобедренного треугольника ABC равны 2α, тогда углы при основании BD равнобедренного треугольника LBD равны α. Но угол LCB является внешним углом треугольника LCD, он равен сумме углов CDL и CLD. Поэтому угол CLD также равен α, и, следовательно, треугольник LCD равнобедренный.
б) Пусть ВС = х, а АК — медиана и высота равнобедренного треугольника АВС. Тогда в прямоугольном треугольнике АКВ имеем: 
откуда 
Биссектриса BL делит сторону, к которой она проведена, на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: 
поскольку 
получаем: 
В пункте а) было доказано, что треугольник LCD равнобедренный, поэтому 
Применим теорему Менелая к треугольнику ABC:
откуда 
Ответ: 9: 7 (или 7: 9).
