Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна полусумме периметров оснований на апофему

Приложение 1.

Конспект лекции

¾ 1 ¾

Пирамида.

Рассмотрим многоугольник А₁А₂ … А_n и точку Р, не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединив точку Р отрезками с вершиной многоугольника, получим n треугольников (рисунок 1): РА₁А₂, РА₂А₃ …, РА_nА₁.

Многогранник, состоящий из n-угольника А₁А₂ … А_n и n треугольников РА₁А₂, РА₂А₃ …, РА_nА₁, называется пирамидой.

Многоугольник А₁А₂ … А_n – основание, треугольники РА₁А₂, РА₂А₃ …, РА_nА₁ – боковые грани. Точка Р – вершина, отрезки РА₁, РА₂, …, РА_n– боковые ребра.

Обозначение: РА₁А₂ … А_n – n-угольная пирамида.

P вершина

B_n

B₁С

β B₂

A_n

A₁

α Е

A₂

РИС. 1

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания – высота (РН).

PE – апофема (высота боковой грани для правильной пирамиды)

Пирамида называется правильной, если её основание правильный многоугольник, а отрезок соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой.

Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из вершины, называется апофемой ( РЕ)

Усеченная пирамида.

Проведем в пирамиде РА₁А₂ … А_n секущую плоскость b, параллельную плоскости a основания пирамиды и пересекающую боковые ребра в точках В₁В₂,…, В_n (рисунок 1).

Плоскость b разбивает пирамиду на 2 многогранника.

Многогранник, гранями которого является n-угольники А₁А₂ …А_n и В₁В₂ …В_n (нижнее и верхнее основание), расположенные в параллельных плоскостях, и n-4^хугольников А₁А₂В₂В₁, А₂А₃В₃В₂, …, А_nА₁В₁В_n (боковые грани), называется усеченной пирамидой.

Отрезки А₁В₁, А₂В₂, …, А_nВ_n – боковые ребра.

Обозначение: А₁А₂ … А_nВ₁В₂ … В_n– усеченная пирамида

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой (СН).

Боковые грани усеченной пирамиды – трапеции.

Усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Основания правильного усечения пирамиды – правильные многоугольники, а боковые грани – равнобедренные трапеции. Высоты этих трапеций называются апофемами.

- 2 –

Тетраэдр.

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и точку D, не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединив точку D отрезками с вершинами треугольника АВС, получим треугольники DAB, DBC и DCA. Поверхность, составленная из четырех треугольников АВС, DAB, DBC и DCA, называется тетраэдром и обозначается DABC.

грани (4)

ребра (6)

вершины тетраэдра (4)

Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными.

Одна из граней тетраэдра называется основанием, а три другие – боковыми гранями.

Сечения тетраэдра:

Тетраэдр имеет 4 грани, то его сечениями могут быть только

ü треугольники

ü четырехугольники

Правильный тетраэдр состоит из 4^х равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной 3^х треугольников, => сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°.

Симметрия в правильном тетраэдре:

Тетраэдр имеет три оси симметрии, которые проходят через середины скрещивающихся рёбер.

Тетраэдр имеет 6 плоскостей симметрии, каждая из которых проходит через ребро тетраэдра перпендикулярно скрещивающемуся с ним ребру.

- 3 –

К правильным относятся 5 видов многогранникам:

1) Куб

2) Правильный тетраэдр

3) Правильный октаэдр

4) Правильный икосаэдр

5) Правильный додекаэдр

С кубом и тетраэдром мы уже познакомились. Теперь рассмотрим остальные фигуры.

Куб состоит из 6 квадратов, в каждой вершине сходятся 3 квадрата, => сумма плоских углов равна 270°.

Правильный октаэдр состоит из 8 равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной 4^х треугольников, => сумма плоских углов при каждой вершине равна 240°.

Правильный икосаэдр состоит из 20 равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной 5^ти треугольников, => сумма плоских углов при каждой вершине равна 300°.

Правильный додекаэдр состоит из 12 правильных пятиугольников. Каждая его вершина является вершиной 3^х правильных пятиугольников, => сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°.

Правильный октаэдр, правильный икосаэдр и правильный додекаэдр имеют центр симметрии и и несколько осей и плоскостей симметрии. Попробуйте подсчитать их число.

¾ 4 ¾

Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности пирамиды - сумма площадей ее боковых граней.

S_полн = S_бок+ S_осн

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна ½ P · ℓ, где р – периметр, ℓ - апофема (высота)

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна полусумме периметров оснований на апофему.

S бок = ½(Р+р) · ℓ