Теория фотонов Эйнштейна

I0. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ИЗДУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ

Общие положения квантовой оптики

До начала XX века физики пристальное внимание уделяли изучению явлений и процессов, происходящих в макроскопических областях. В результате этого во второй половине XX века было практически закончено создание основных разделов классической физики, на которых она базировалась — механики и электродинамики — и с помощью которых удовлетворительно объяснялись все явления, происходящие в макроскопических областях пространства.

Однако во второй половине XIX и начале XX веков физики начинают интенсивно изучать микропроцессы, т.е. явления, происходящие в микроскопических областях — пространственных областях размером порядка .

Попытки применить аппарат классической физики к объяснению явлений микромира не дали результатов. На пути решения некоторых задач с позиций классической физики (излучение абсолютно черного тела, объяснение законов фотоэффекта и др.) возникли непреодолимые трудности.

Перед учеными встал вопрос о формировании новых физических основ и создании соответствующего математического аппарата, с помощью которых можно было бы решить эти вопросы (объяснить явления, происходящие в микромире).

Оказалось, что специфическим свойством процессов, происходящих в микромире, является явление квантования, заключающееся в том, что некоторые величины, с помощью которых описываются эти процессы, принимают дискретные значения. Впервые положение о дискретности возможных значений энергии гармонических осцилляторов, находящихся в тепловом равновесии с электромагнитным излучением, выдвинул в 1900 г. Макс Планк, которому удалось аналитически описать спектральное распределение энергии излучения в спектре абсолютно черного тела.

Дальнейшее развитие идеи Планка Альбертом Эйнштейном, предложившим принцип дискретности самого электромагнитного излучения (теория фотонов Эйнштейна, приведшая к корпускулярно-волновому дуализму излучения), теория Бора о строении водородоподобных атомов, основанная на идеях квантования энергетических уровней атомов (1913 г.), и сформулированный им принцип соответствия, а также выдвинутая де Бройлем гипотеза о корпускулярно-волновом дуализме частиц привели к созданию нового раздела физики, который был назван квантовой механикой. Основные положения и аппарат квантовой механики практически были сформулированы в 1925—1928 гг. де Бройлем, Шредингером, Гейзенбергом, Борном и Дираком.

 

Формула Планка

Статистическая теория излучения сыграла огромную роль в создании квантовой теории. Классическая электромагнитная теория света, объяснявшая широкий круг явлений, связанных с распространением света, и получившая всеобщее признание в конце XIX века и в начале XX века столкнулась с неопределенными трудностями в связи с вопросом об излучении абсолютно черного тела (теплового излучения). Объяснить излучение абсолютно черного тела и найти аналитическое выражение для спектральной плотности его излучения удалось Максу Планку. Планк представил абсолютно черное тело в виде набора осцилляторов, каждый из которых имеет запас энергии , кратный некоторому количеству энергии :

,

где .

Планк предполагал, что затруднения классической физики в описании излучения абсолютно черного тела связаны с неверным определением средней энергии осцилляторов. Поэтому, взяв за основу статистику Максвелла – Больцмана для частиц с дискретными значениями энергии  он получил для среднего значения энергии следующее выражение:

.

Планк хотел устремить , и получить формулу для средней энергии одного осциллятора при непрерывном излучении энергии, однако получилась формула, совпадающая с формулой энергии классического осциллятора - . Тогда Планк предположил, что энергия может излучаться и поглощаться дискретными порциями . Подставив  в формулу Релея — Джинса, он получил выражение для спектральной плотности излучения абсолютно черного тела в следующем виде:

                                            (10.1)

где  - постоянная, значение которой Планк определил как

Отметим,  что спектральная плотность излучения   связана со спектральной плотностью энергетической светимости  (5.73) абсолютно черного тела соотношением:

и имеет размерность , то есть представляет собой объемную плотность излучения, приходящуюся на единичный спектральный диапазон частот.  

Полученная формула правильно описывала излучение абсолютно черного тела, результаты хорошо совпали с опытными данными. А следовательно, и должна быть верной гипотеза Планка о том, что осцилляторы излучают энергию дискретными порциями, равными .

 

Теория фотонов Эйнштейна

Планк выдвинул знаменитый постулат: вещество не может испускать энергию излучения иначе как конечными порциями, пропорциональными частоте этого излучения. Можно было бы предположить, что и поглощение энергии осуществляется дискретными порциями.

Эйнштейн развил гипотезу Планка дальше. А именно, он предположил, что распространяющийся свет обладает корпускулярными свойствами, т.е. что само электромагнитное излучение состоит из отдельных корпускул — фотонов, несущих энергию, равную энергии кванта Планка. Эйнштейн предположил, что помимо количества энергии  световой фотон должен обладать и определенным импульсом . Из теории относительности Эйнштейна известно, что полная энергия частицы с массой покоя равна

,

где  и  - скорость частицы.

Импульс частицы равен

.

Отсюда следует соотношение:

                                       ,                                         (10.2)

где - полная энергия, - энергия покоя частицы.

Эти формулы справедливы для скоростей частиц, соизмеримых со скоростями света. Для тел, движущихся на земле можно считать .

Для фотона  и . Следовательно Е можно устремить к бесконечности, если . Поэтому Эйнштейн сделал вывод, что масса покоящегося фотона равна нулю (). Если , то тогда

,

,

 

где  — волновое число,  - модифицированная постоянная Планка. Вводя понятие волнового вектора , где  - единичный вектор направления движения фотона, мы можем теперь записать, что фотон характеризуется энергией  и импульсом .

Эти формулы связывают волновые и корпускулярные свойства света. Это можно объяснить, если считать, что свет имеет двойственный характер, т.е. обладает одновременно корпускулярными и волновыми свойствами. Примиритель этого дуализма — постоянная Планка.

Дуализм света позволяет при рассмотрении оптического излучения использовать различные представления, а именно, представлять излучение или в виде световых волн, или в виде фотонных коллективов. При выполнении определенных условий, волновая оптика реализует свой предельный случай, отвечающий геометрической оптике.