Прохождение излучения через вещество

Рассмотрим взаимодействие вещества с излучением, проходящим через это вещество. Существуют различные способы описания явлений, связанных с распространением излучения в веществе. Как правило, применяют три способа описания: классический, квантовомеханический и полуклассический. Наиболее полным и последовательным является квантовомеханическое описание, при котором вещество и взаимодействующее с ним излучение рассматривают как единую квантовую систему, волновые функции которой содержат полные характеристики как вещества, так и излучения.

При классическом описании и вещество, и излучение рассматриваются с позиций классической физики, т.е. излучение – в виде волн, а вещество – в виде непрерывной среды. Полуклассическое описание характеризуется том, что вещество описывается с позиций квантовой механики, т.е. представляется в виде совокупности атомных частиц, а излучение – с позиций классической физики, т.е. представляется в виде волн.

Рассмотрим прохождение излучения через вещество, используя полуклассическое описание, т.е. представляя излучение в виде волн, а среду (вещество) – в виде атомного коллектива, свойства которого описываются квантовой механикой. Пусть имеется некоторая среда, на которую падает монохроматическое излучение частицы . При прохождении излучением вещества происходит его поглощение и рассеяние, так что, пройдя в среде путь dz, вошедший поток   изменяется на величину , определяемую известным законом Бугера (в дифференциальной форме):

 

                                           ,                                (10.17)

 

где  – спектральный коэффициент поглощения , обусловленный переходами между уровнями, населенность которых может зависеть от величины потока;

 – спектральный коэффициент, характеризующий другие виды потерь (рассеяние и др.) , имеющих линейный характер.

Аналогично (10.17) можно записать закон Бугера через вектор Пойнтинга-Умова  :

 

                                           .                                (10.18)

 

Модуль вектора Пойнтинга равен количеству электромагнитной энергии, которое в единицу времени протекает через единичную площадку, перпендикулярную вектору скорости  распространения излучения в среде.

Коэффициенты поглощения  и потерь  характерны для данного вещества. В общем случае они могут зависеть от частоты , координат поглощающего объема z, направления распространения излучения, температуры и внешних воздействий на вещество. Для однородного вещества  и  не зависят от координат объема.

Рассмотрим взаимодействие излучения с веществом в рамках нелинейной оптики, т.е. учитывая зависимость свойств среды (в данном случае ) от интенсивности проходящего излучения. Коэффициент поглощения  можно определить как  где  – количество электромагнитной энергии, которое поглощается в единице объема вещества в единицу времени. Т.к. спектральный коэффициент поглощения  определяется вынужденными переходами между двумя энергетическими уровнями системы i -м и j -м (теми уровнями, переход с которых связан с поглощением излучения кванта энергии ), то выражение для  можно записать в таком виде:

 

                  ,       (10.19)

 

где  и  – населенности энергетических уровней.

При выводе выражения (10.19) учтено, что , где , как и , представляет собой объемную плотность излучения с размерностью [Дж с/м³]. Учитывая, что , можно (10.19) записать в таком виде:

 

                                          .                              (10.20)

 

Из (10.20) видно, что спектральный коэффициент поглощения зависит от населенности энергетических уровней i и j и, следовательно, в свою очередь определяется, согласно (10.16) спектральной плотностью внешней радиации (или ). Таким образом, когда плотность внешней радиации велика, необходимо учитывать зависимость от неё коэффициента поглощения. Найдем зависимость  от . Коэффициент поглощения  зависит от , где  и  в свою очередь определяются формулами (10.16). С учетом этих формул получаем:

                                                                     (10.21)

 

Следовательно, структурно выражение для  записывается в таком виде:

 

                                                  ,                                       (10.22)

 

где  – начальный коэффициент поглощения (коэффициент поглощения при ), равный

 

,

 

где  – параметр нелинейности, характеризующий зависимость коэффициента поглощения от плотности внешней радиации (при малом  членом  обычно пренебрегают).

Следует помнить, что под  мы в общем случае понимаем .

Учитывая зависимость (10.22) коэффициента поглощения от плотности внешней радиации, запишем выражение (10.18) в таком виде:

 

                                       .                            (10.23)

 

После интегрирования (10.23) с учетом соотношения  получаем:

                   ,        (10.24)

где значение вектора Пойнтинга при z=0.

Для того, чтобы провести качественный анализ явлений, происходящих при прохождении излучения через вещество, для простоты положим равным нулю параметр нелинейности  (). Физически это означает, что мы не учитываем зависимости коэффициента поглощения от плотности внешней радиации  (т.е. рассматриваем среду в рамках линейной оптики) или считаем, что проходящие потоки (  и ) малы. Тогда уравнение (10.18) записывается в таком виде:

                                 ,

и его решение выглядит следующим образом:                                                    

                            .                                 (10.25)

Это уравнение характеризует закон Бугера в линейном приближении.

Анализируя выражение (10.25), рассмотрим, что происходит с излучением при прохождении им среды. Если , то происходит поглощение излучения при прохождении через среду. Коэффициент поглощения  тогда, когда система находится в состоянии термодинамического равновесия. Покажем это. При термодинамическом равновесии частицы по энергетическим уровням распределяются согласно закону Больцмана:

Подставляя  и  в (10.20), получим

.

 

Таким образом, когда система находится в состоянии термодинамического равновесия коэффициент поглощения  и, следовательно, поток, проходя через среду, поглощается согласно закону Бугера в интегральной форме (рис. 10.2).

Однако из интегрального закона Бугера следует, что если бы было , то поток, проходя через среду, усиливался бы, т.е. возрастал с увеличением z (рис. 10.2).

 

   

Рис. 10.2 Зависимость потока изучения от длины пути в среде

 

Посмотрим, что нужно сделать, чтобы коэффициент поглощения  стал отрицательным для получения среды с усилением излучения. Из формулы для  имеем условие получения отрицательного коэффициента поглощения:

 

 

или

 

                                                     .                                          (10.26)

 

Следовательно, если выполняется условие (10.26)  то в данной среде коэффициент поглощения отрицательный и в ней возможно усиление проходящего через нее излучения. В частном случае, если , то условие  запишется как , т.е. населенность верхнего уровня больше населенности нижнего уровня. Для среды, находящейся в состоянии термодинамического равновесия, дело обстоит как раз наоборот, т.е. , т.к.

Среда, для которой выполняется условие  называется активной средой или средой, в которой создана инверсная населенность уровней (т.е. обратная тому, которая есть в системе с термодинамическим равновесием) или средой с «отрицательной» температурой, или инвертированная среда. Понятие «отрицательная» температура вводится условно для того, чтобы можно было формулой Больцмана описывать распределение частиц по энергетическим уровням для любого состояния системы (т.е. когда она находится в состоянии термодинамического равновесия и в состоянии с инверсной населенностью). Чтобы записать число частиц на данном энергетическом уровне с помощью формулы Больцмана для активной среды, мы должны в этом случае условно считать, что среда находится при отрицательной температуре. Покажем это:

 

 

т.к. для активной среды .

Используя понятие «отрицательная» температура, можно представить распределение частиц по энергетическим уровням графиком (рис. 10.3).

             

Рис.10.3 Распределение числа частиц от температуры

Если , то  () – среда с термодинамическим равновесием. При  все частицы находятся на нижнем энергетическом уровне (). При  все частицы находятся на верхнем энергетическом уровне, т.е. , при .

Исследуем, как будет меняться спектральный состав излучения при прохождении излучения через среду. Пусть имеется излучение, спектральный состав которого представлен на рисунке 10.4.

             

 Рис. 10.4 Изменение формы спектральной линии

 

Применим закон Бугера к излучению, соответствующему частотам  и :

 

 

Для спектрального состава излучения в пределах ширины спектральной линии (по определению), вошедшего в среду, справедливо соотношение . Посмотрим, как изменится это соотношение после прохождения излучения через среду:

 

.

 

Если , то спектральная линия расширяется, т.к. , и если , то спектральная линия сужается, т.к. .

Коэффициент поглощения изменяется по зависимости, представленной на рисунке 10.5. Из графиков изменения  видно, что если , то  и  – спектральная линия расширяется. При , ,и, следовательно, , то есть спектральная линия сужается.

                             

Рис. 10.5 Зависимость коэффициента поглощения от частоты

 

Таким образом, после прохождения среды с  спектральная линия сужается, т.е. излучение становится более монохроматичным. Следовательно, для активной среды характерно следующее:

1. Излучение, проходя через такую среду, усиливается;

2. Излучение становится более монохроматичным, т.е. спектральная линия излучения, проходя через активную среду, сужается.

Проанализируем теперь зависимость (10.24), более точно определяющую закон изменения  (с учетом зависимости коэффициента поглощения от плотности радиации). Следует отметить, что зависимость (10.24) справедлива как для среды, находящейся в термодинамическом равновесии (), так и для активной среды (). Аналитическое исследование выражения (10.24) длительно, т.к.  не является явной функцией z. Численные расчеты  показывают, что для инверсной среды () зависимость (10.24) характеризуется графиком, представленным на рисунке 10.2. Из рисунка видно, что по мере прохождения среды излучение усиливается (  увеличивается) и  стремится к некоторому конечному пределу

 

 

Чем больше , тем меньше степень усиления. При больших  усиление практически прекращается. Величину  можно найти, устремив в выражении (10.24) . Однако проще определить  учитывая, что прямая  есть горизонтальная асимптота, кривой . Следовательно,   можно найти из условия

 

.

 

Учитывая (10.23), имеем

 

                                    .                         (10.27)

 

Из (10.27) находим

 

                                            .                                 (10.28)

 

Величина  определяет тот максимальный поток, который может быть получен в данной активной среде при известных значениях , , . Если  превышает значение , то излучение в активной среде будет не усиливаться, а ослабляться, стремясь к тому же пределу (). В этом случае усиление меньше потерь на рассеяние, определяемое величиной .

Согласно (10.28) величина продельного потока достигаемого в активной среде, существенно зависит от вредных потерь . Чем меньше , тем выше . Если бы удалось создать среду без вредных потерь , т.е. с , то значение  стремилось бы к бесконечности (). В этом случае увеличение длины цуга, проходимого излучения в среде, сопровождалось бы увеличением выходящего потока. Таким образом, ограничение возможностей усиления связано в основном с наличием рассеянья и других вредных потерь. Очевидно также и следующее: чем меньше величина параметра нелинейности среды, тем выше величина   (при ).

С учетом (10.28) выражение (10.24) может быть записано в таком виде:

 

                          .               (10.29)

 

Из этой формулы отчетливо видно, что отклонение от известного закона Бугера наступает только тогда, когда  приближается к . Пока , .

Величина  сложным образов зависит от параметров вещества , ,  и величины . Однако на отдельных участках вид функции (10.24) значительно проще. Для конечного участка, например,

 

                                                               

                                   (10.30)

                                                          .                                                               

Это выражение получено при условии, что .

Выражение (10.30) значительно проще выражения (10.24). Оно удобно для аналитического исследования и в частности с его помощью можно найти длину пути, которую излучение должно пройти в среде, при условии, что . Подставляя  в (10.30), находим

 

                                       .                            (10.31)

 

Формула (10.31) позволяет найти оптимальные размеры активной среды, поскольку заставлять излучение проходить бесконечно большой путь в активной среде не рационально, т.к. усиление на конечном участке падает. Например,  и , а при  и . Участок пути, проходимого излучением при , связан с возрастанием роли вредных потерь. Пока  мало, второе слагаемое в правой части дифференциального уравнения (10.27) можно не учитывать. Однако при больших  оно становится весьма значительным и в пределе равным первому слагаемому. В этом предельном случае потери энергии на рассеяние  полностью сравниваются с выделением энергии , в результате чего усиление прекращается. При этом в процессе усиления происходит изменение коэффициента усиления, равного , а именно, он уменьшается. Истинный коэффициент усиления, реализующийся в веществе, зависит не только от свойства самого вещества, но и от величины .