Булевы функции двух переменных

БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ

 

Множество В={0,1} состоит только из двух чисел: 0 и1. Поэтому эти числа являются множеством значений булевой функции.

Область определения булевой функции –это кортежи, состоящие из символов 0 и1 длиной n. Например:00; 0110; 1101010; 00101101100.

При этом каждому варианту кортежа ставится в соответствие единственный элемент из В – значение булевой функции, например f(0110)= 0, где кортеж 0110- аргумент булевой функции, а 0- её значение. Т. к во множестве В только 2 элемента, то в записи аргумента безразлично разделены  символы запятыми или нет, т.е. f(0,1,1,0)=f(0110)=0

Любой аргумент булевой функции фактически представляет собой двоичное целое число. Поэтому аргументы булевой функции можно упорядочить и при задании булевой функции располагать их в виде двоичных кортежей.

Всего у булевой функции n переменных может быть 2ⁿаргументов, соответствующих двоичным числам от 000…0 до 111…1 включительно. Мощность множества Вⁿ равна 2ⁿ.

Геометрическая интерпретация булевых функций: Поставим в соответствие различным наборам значений аргументов функции f(x_1,x₂x₃…x_n) определённые точки n-мерного пространства. Если значение функции равно 0, то точка не рисуется («выкалывается») и если значение функции равно 1, то точка рисуется(выделяется полужирно). Итак, для n=1 переменной геометрическая интерпретация имеет вид отрезка, для двух переменных – вид квадрата на плоскости, а для трёх переменных – вид куба в пространстве.  (0) °                              •(1)   

Ем или инверсией.

БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

При n =1, согласно общей формуле существует 4 различные булевы функции: тождественный нуль, тождественная функция, отрицание и тождественная единица

Более удобно представить в виде таблицы истинности. В данном случае она примет вид (табл. 4.2):

БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ.

При n =2, согласно общей формуле существует 2⁴=16 различных булевых функций. Их виды приведены в таблице 4.3

Приведённые в таблице 4.3 функции делят на 3категоррии:

1. Симметрические функции.

2. Импликации.

3. Функции явно зависящие от одной переменной.

                F₉ (x,y)= x  y = = (x,y)

 

           f₁₅(x,y)= x y= = (x,y)

 

При n=3 существует 2⁸= 256 булевых функций, что технически невозможно реализовать.