2020-06-29
157Элементарных функций.
Изучение правил и формул
Дифференцирования функций
Вопросы темы:
Понятие дифференцируемости функции.
Производные элементарных функций.
Теоремы о производных алгебраической суммы, произведения и частного функций.
Домашнее задание.
Вопрос 1. Понятие дифференцируемости функции
Для того, чтобы познакомиться с понятием дифференцируемости функции, приведем следующее определение:
Далее, следует отметить, что:
Для большего понимания понятия дифференцируемости функции рассмотрим следующую теорему:
Вопрос 2. Производные элементарных функций
Выведем формулы для производных элементарных функций.
Будем находить производные в произвольной точке.
1. Производная постоянной функции
Пусть на некотором промежутке (a; b) дана постоянная функция y= c= const.
Тогда ее значения в точках х и х+∆х, принадлежащих интервалу (a; b), равны между собой при любом х.
Отсюда следует, что приращение ∆у = 0, а, следовательно, и отношение ∆х/∆у = 0.
2. Производная степенной функции с целым показателем.
Рассмотрим отдельные примеры.
Следовательно, производная у ׳ = х3 в точке х существует и равна у ׳ = 3х2, то есть (3х3) ׳ = 3х2.
В рассмотренных примерах 1 и 2 видим такую закономерность: производная степенных функций х, х2, х3 равна показателю степени, умноженному на эту функцию в степени, на единицу меньшей:
3. Производные тригонометрических функций
Вопрос 3. Теоремы о производных
Алгебраической суммы,
произведения и частного функций
Рассмотрим теоремы, которые применяются для нахождения производных функций.
Из этих теорем мы имеем формулы, которые позволят найти производную суммы и разности функций, произведения и частного функций и другие.
(1)
Запомним эту формулу без доказательства.
Это и есть формула (3), рассмотренная выше.
Производная исходной функции f(x), будет определяться по формуле:
Вопрос 4. Домашнее задание
Найти производные функций, используя формулы и теоремы о производных:
Примечание: Выполнить максимально возможное количество примеров.
