Способы задания последовательностей

 

Последовательность необходимо задать, то есть указать способ, с помощью которого можно найти каждый ее член.

 

Основные способы задания последовательностей.

1. Аналитический способ (формула n -го члена)

Последовательность задается формулой, которая позволяет найти по номеру n значение любого члена у_n.

Любой n-й элемент последовательности можно определить с помощью формулы.

 

Примеры задания последовательности аналитическим способом:

А). Пусть последовательность задана формулой

у_n = 3n – 2.

Подставляя в формулу вместо n натуральные числа, находим члены последовательности:

 и т. д.

Имеем последовательность: 1, 4, 7,....

 

Б). Пусть последовательность задана формулой

Подставляя в формулу вместо n натуральные числа, находим члены последовательности:

 и т. д.

Имеем последовательность: 0, 1, 0, 1,....

 

в). Последовательность чётных чисел: y = 2n.

г).. Последовательность квадрата натуральных чисел:

y = n²: 1, 4, 9, 16, 25,..., n²,....

д). Стационарная последовательность: y = C; C, C, C,...,C,...

Частный случай: y = 5; 5, 5, 5,..., 5,....

е). Последовательность y = 2ⁿ: 2, 2², 2³, 2⁴,..., 2ⁿ,....

 

Пример последовательности, заданной аналитически

И график заданной последовательности

 

Построим график последовательности, заданной аналитически формулой .

График любой последовательности – это множество всех пар значений (n; 1/n), где n принадлежит множеству натуральных чисел.

Построим график функции  (Рис. 1).

Линия графика данной функции – гипербола, и на этой ветви лежат все точки графика нашей последовательности, если n=1, то и 1/n=1.

Из формулы получим координаты точек функции:

первая точка (1; 1); вторая точка (2; 1/2);…; и т. д.

Рис. 1

 

Так как функция y = 1/x при х≥1 – является убывающей, следовательно, и последовательность, заданная формулой y=1/n, также является убывающей.

 

2. Рекуррентный способ

Указывается правило (формула), позволяющее вычислить следующие члены последовательности, если известны её предыдущие элементы.

Пример: