Некоторые замечания, определения и характеристики последовательности

 

Замечание. Если для последовательности a₁, a₂, … a_n, … найдется такое число a, что a_n → a при , то эта последовательность ограничена.

 

Определение. Считаем, что последовательность a₁, a₂, … a_n, … стремится к бесконечности, если для любого положительного числа C найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство | a_n |> C.

Условие того, что числовая последовательность

a₁, a₂, … a_n, …

стремится к бесконечности, записываем с помощью обозначения

или с помощью обозначения

 при .

Пример: Для любого числа k >0 справедливо равенство

 

Пример: Для любого числа   k >0 справедливо равенство

Пример: Для любого числа   a  такого, что | a | < 1,  справедливо равенство

Пример: Для любого числа   a  такого, что | a | > 1, справедливо равенство

Пример: Последовательность -1, 1, -1, 1, …, заданная с помощью формулы общего члена a_n = (– 1)ⁿ, предела не имеет.

 

 

Домашнее задание

1. Укажите номер члена последовательности , равного .

2. Вычислите три последующих члена последовательности, если  и .

3. Задана последовательность .

Ограничена ли она?

 

Знать ответы на контрольные вопросы:

1. Дайте определение последовательности.

2. Основные способы задания последовательности.

3. Ограниченность последовательности.

4. Монотонность последовательности.

5. Понятие r-окрестности точки b.

6. Определение предела последовательности.

7. Теоремы о пределах последовательности.