Решение стационарного уравнения Шрёдингера для частицы в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме

Пусть частица движется вдоль оси X. При этом движение ограничено отрезком (0,l). В точках x=0 и x=l установлены непроницаемые бесконечно высокие стенки. Потенциальная энергия в этом случае имеет вид

Такая зависимость потенциальной энергии от x получила название потенциальной ямы.

Запишем стационарное уравнение Шредингера

Поскольку пси-функция зависит только от координаты x, то уравнение упрощается следующим образом

Внутри потенциальной ямы U=0

За пределы потенциальной ямы частица попасть не может. Поэтому вероятность обнаружения частицы вне ямы равна нулю. Соответственно и пси-функция за пределами ямы равна нулю. Из условия непрерывности следует, что ψ должна быть равна нулю и на границах ямы, т.е. . Это граничное условие, которому должны удовлетворять решения уравнения.

Введем обозначение

и получим уравнение, хорошо известное из теории колебаний

Решение такого уравнения имеет вид гармонической функции

Выбор соответствующих параметров k и α определяется граничными условиями, а именно,

n = 0 отпадает, т.к. в этом случае ψ = 0 и частица нигде не находится. Следовательно, число k принимает лишь определенные дискретные значения, удовлетворяющие условию . Отсюда следует очень важный результат. Найдем собственные значения энергии частиц

т.е. энергия электрона в потенциальной яме не произвольна, а принимает дискретные значения, т.е. является квантованной. Величина Е_n зависит от целого числа n, которое принимает значение от 1 до ∞ и носит название главного квантового числа. Квантованные значения энергии называются энергетическими уровнями, а квантовое число n определяет номер энергетического уровня. Таким образом, электрон в потенциальной яме может находиться на определенном энергетическом уровне E_n. Причем минимальное значение энергии, соответствующее первому энергетическому уровню, отлично от нуля

Определим расстояние между соседними энергетическими уровнями

При больших m и l расстояние между уровнями становится мало, и спектр становится квазинепрерывным. Относительное расстояние между уровнями

при n → ∞,

т. е. спектр становится непрерывен. В этом заключается принцип соответствия Бора: при больших квантовых числах выводы и результаты квантовой механики должны соответствовать классическим результатам.

Вернемся к задаче определения собственных функций. После применения граничных условий имеем

Для нахождения коэффициента А воспользуемся условием нормировки

Значение интеграла равно l /2.

Таким образом, собственные функции имеют вид

Графики собственных функций имеют вид

Основные выводы:

1. Энергетический спектр частицы в потенциальной яме дискретный – энергия квантуется.

2. Минимальное значение кинетической энергии не может быть равно нулю.

3. Дискретный характер энергетических уровней проявляется при малых m, l и n, при больших m, l, n движение становится классическим.

4. Положения микрочастицы в яме не равновероятны, а определяются собственными функциями, в то время как в случае классической частицы все положения равновероятны.

Билет №96. Заполнение энергетических уровней. Принцип Паули.

Принцип наименьшей энергии: максимуму устойчивости системы соответствует минимум её энергии.
Следовательно, в соответствии с данным принципом электроны будут вначале располагаться на атомных орбиталях, имеющих минимальную энергию, в этом случае связь электронов с ядром наиболее прочная и атомная система находится в состоянии максимальной устойчивости.

В зависимости от того, какой подуровень последним заполняется электронами, все элементы делятся на четыре типа – электронные семейства:

1. s – элементы; заполняется электронами s – подуровень внешнего уровня. К ним относятся первые два элемента каждого периода. Валентными¹ являются электроны внешнего уровня.

2. p – элементы; заполняется электронами р – подуровень внешнего уровня. Это последние шесть элементов каждого периода (кроме I и VII). Валентными являются s- и p- электроны внешнего уровня.

3. d – элементы; заполняется электронами d – подуровень второго снаружи уровня, а на внешнем уровне – один или два электрона (y ₄₆Pd – нуль). К ним относятся элементы вставных декад больших периодов, расположенных между s – и p – элементами (их также называют переходными элементами). Валентными являются s – электроны внешнего уровня и d – электроны предвнешнего уровня (второго снаружи).

4. f – элементы; заполняется электронами f – подуровень третьего снаружи уровня, а на внешнем уровне остается два электрона. Они расположены в 6 – м (4f – элементы) и 7 – м (5f – элементы) периодах периодической системы. 4f – элементы объединяют в семейство лантаноидов, а 5f – элементы – семейство актиноидов.

Принцип запрета Паули гласит: в атоме не может быть двух электронов с одинаковым набором четырех квантовых чисел.

Согласно этому принципу, на одной орбитали, характеризуемой определенными значениями трех квантовых чисел n, l и m _l, могут находиться только два электрона, отличающихся значением спинового квантового числа m_s, а именно m_s=+ и m_s= – , т.е. спины которых противоположно направлены. Принцип запрета Паули определяет электронную емкость энергетических уровней и подуровней. На s – подуровне (одна орбиталь) может быть лишь два электрона, на p – подуровне (три орбитали) – шесть, на d подуровне (пять орбиталей) – десять, на f – подуровне (семь орбиталей) – четырнадцать электронов. Вообще, максимальное число электронов на подуровне с орбитальным квантовым числом l равно 2(2 l +1). Поскольку число орбиталей данного энергетического уровня равно n², емкость энергетического уровня составляет 2n² электронов, где n – соответствующее значение главного квантового числа.

Билет №97. Законы взаимопревращений частиц, ядерные реакции, дефект масс.

Ядерные реакции – это превращения атомных ядер при взаимодействии с элементарными частицами (в том числе с γ-квантами) или друг с другом.

Наиболее распространенным видом ядерной реакции является: Х + а → У + b, или Х (а, b) У, где Х и У – исходное и конечное ядра;а и b – бомбардирующая и испускаемая (или испускаемые) частица.

В ядерной физике эффективность взаимодействия характеризуют эффективным сечениемN

где N – число частиц, падающих за единицу времени на единицу площади
поперечного сечения вещества, имеющего в единице объема n ядер,

dN – число этих частиц, вступающих в ядерную реакцию в слое толщиной dx.

Ядерные реакции могут быть экзотермическими (с выделением теплоты) и эндотермическими (с поглощением тепла).

Дефект массы. Спектрометрические измерения показали, что масса ядра меньше, чем сумма масс составляющих его нуклонов. Так как всякому изменению массы должно способствовать изменение энергии, то отсюда следует, что при образовании ядра должна выделяться определенная энергия. Из закона сохранения энергии следует, что для разделения ядра на составляющие его частицы нужно затратить такое же количество энергии.

Величина , где m_p, m_н, m_я – соответственно массы протона, нейтрона, ядра.

Под элементарной частицей понимается частица, которая не состоит из каких-либо других частиц, способных существовать в свободном виде, и которая способна участвовать в различных процессах взаимопревращений. Примером такого превращения является распад нейтрона:

Данный распад не означает, что нейтрон состоит из протона, электрона и антинейтрино. Данные частицы рождаются в процессе распада. Другим примером взаимопревращения является реакция аннигиляции электрона и позитрона с рождением двух гамма - квантов: . Возможен обратный процесс – рождение электрон-позитронной пары.

Билет №98. Строение ядер, ядерные силы, устойчивые и неустойчивые ядра.

Между составляющими ядро нуклонами действуют силы, превышающие кулоновские силы отталкивания между протонами. Они называются ядерными силами. Ядерные силы намного превышают гравитационные, электрические и магнитные и относятся к классу сильных взаимодействий.

Свойства ядерных сил:

1. Ядерные силы являются силами притяжения.

2. Они являются короткодействующими (действуют на расстоянии 10^-15 м), при увеличении расстояния быстро убывают, на расстоянии менее радиуса действия в 100 раз больше кулоновских сил.

3. Им свойственна зарядовая независимость (ядерные силы между двумя протонами, нейтронами, протон-, нейтрон-одинаковы), следовательно, ядерные силы имеют неэлектрическую природу.

4. Ядерным силам свойственно насыщение (каждый нуклон в ядре взаимодействует с ограниченным числом ближайших к нему нуклонов).

5. Ядерные силы зависят от взаимной ориентации спинов взаимодействующих нуклонов (взаимодействие только при параллельной ориентации спинов).

6. Ядерные силы не являются центральными (не действуют по линии, соединяющей их центры нуклонов).

Согласно современным представлениям атомное ядро состоит из положительно заряженных протонов и нейтральных нейтронов, которые вместе называют нуклонами. Они удерживаются в ядре за счет сильного взаимодействия. Число протонов в ядре называют зарядовым числом (Z), оно равно порядковому номеру химического элемента. Число нейтронов в ядре называют изотопическим числом (N). Суммарное количество нуклонов в ядре называют массовым числом (M) и оно равно относительной атомной массе атома химического элемента. M=Z+N. Ядра с одинаковым числом нейтронов, но разным числом протонов называют изотонами. Если же в ядре одинаковое число протонов, но различное нейтронов – изотопами. В случае, когда равны массовые числа, но различный состав нуклонов – изобарами.

Существование дефекта масс атомного ядра означает, что для разделения атомного ядра на составляющие его нуклоны нужно затратить энергию, которая принято называть энергией связи ядра и определяется как

Е_св = Δm×с².

E _св = Δ mc ² = (Zm _p + Nm _n – M _я) c ².

Эта энергия затрачивается на совершение работы против ядерных сил притяжения между нуклонами.

Энергия связи ядра равна минимальной энергии, которую крайне важно затратить для полного расщепления ядра на отдельные частицы.

Вычисленный для ядра гелия дефект масс соответствует энергии связи 28,2 МэВ; он значительно выше среднего. Следовательно, ядро атома гелия (α-частица) - ϶ᴛᴏ устойчивая частица, которая при ядерных реакциях ведет себя как целое.

Примером частицы с низкой энергией связи является ядро дейтерия - изотопа водорода . Дефект масс ядра дейтерия составляет 0,00238 а.е.м. Соответствующая энергия связи равна 2,21 МэВ – в 15 раз меньше энергии связи ядра гелия. По этой причине дейтерий – неустойчивое ядро, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ при ядерных реакциях распадается.

Билет №99. Альфа, бета, гамма излучение. Основные св-ва. Правила смещения.

Радиоактивное излучение неоднородно. Существуют три различные частицы с разными зарядами. Альфа-частица - положительно заряженная (лишенный электронов атом гелия), бета-частица - отрицательно заряженная (электрон), и нейтральная гамма-частица (фотон). Три вида излучения обладают разной проникающей способностью. Самые поникающие - гамма-лучи. Они легко проходят через вещество.

Альфа-распад Пример: где - альфа-излучение - ядра гелия.

Этот распад наблюдается для тяжелых ядер с А>200. При альфа-распаде одного химического элемента образуется другой химический элемент, который в таблице Менделеева расположен на 2 клетки ближе к ее началу, чем исходный.

Бета-распад Пример: где - бета-излучение - электроны.

При бета-распаде одного химического элемента образуется другой химический элемент, который расположен в таблице Менделеева в следующей клетке за исходным.

Гамма-излучение

Испускание гамма-излучения не приводит к превращениям элементов.

В ходе ядерной реакции суммарный электрический заряд и число нуклонов сохраняются. Ядерные реакции бывают двух типов: эндотермические (с поглощением энергии) и экзотермические (с выделением энергии). Если сумма масс исходного ядра и частиц, больше суммы масс конечного ядра и испускаемых частиц, то энергия выделяется, и наоборот.

Билет №100. Естественная и искусственная радиоактивность. Закон радиоактивного распада.

Билет №101. Колебания. Энергия гармонического колебания.

Простейшим видом колебательного процесса являются колебания, происходящие по закону синуса или косинуса, называемые гармоническими колебаниями.

Уравнением движения для гармонических колебаний, которое имеет вид:

где: x – смещение тела от положение равновесия, A – амплитуда колебаний, то есть максимальное смещение от положения равновесия, ω – циклическая или круговая частота колебаний (ω = 2 Π / T), t – время. Величина, стоящая под знаком косинуса: φ = ωt + φ ₀, называется фазой гармонического процесса. Смысл фазы колебаний: стадия, в которой колебание находится в данный момент времени. При t = 0 получаем, что φ = φ ₀, поэтому φ ₀ называют начальной фазой.

Минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения тела, называется периодом колебаний T. Если же количество колебаний N, а их время t, то период находится как

Физическая величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний: Частота колебаний ν показывает, сколько колебаний совершается за 1 с. Единица частоты – Герц (Гц). Частота колебаний связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями:

Зависимость скорости от времени при гармонических механических колебаниях выражается следующей формулой:

Максимальное значение скорости при гармонических механических колебаниях:

Максимальные по модулю значения скорости υ _m = ωA достигаются в те моменты времени, когда тело проходит через положения равновесия (x = 0). Аналогичным образом определяется ускорение a = a _x тела при гармонических колебаниях. Зависимость ускорения от времени при гармонических механических колебаниях:

Билет №102. Пружинный маятник.

Пружинный маятник – это колебательная система, состоящая из материальной точки и пружины

- груз на пружине при малых отклонениях совершает гармонические колебания во времени t с периодом Т и амплитудой А.

- колебания происходят по закону синуса (начинаются от толчка груза)...

-... или по закону косинуса (начинаются отведением груза в сторону).

- циклическая частота колебаний пружинного маятника.

- частота колебаний пружинного маятника.

- связь циклической частоты с частотой колебаний и периодом.

- связь периода и частоты колебаний.

Энергия колебаний пружинного маятника:
- Энергия колебаний - это сумма потенциальной энергии пружины и кинетической энергии груза.

Формулы потенциальной и кинетической энергий:

Билет №103. Физический и математический маятник.

Математический маятник - Это материальная точка, подвешенная на тонкой нерастяжимой и невесомой нити. Если отклонить маятник от положения равновесия, то сила тяжести и сила упругости будут направлены под углом. Равнодействующая сила уже не будет равна нулю. Под воздействием этой силы маятник устремится к положению равновесия, но по инерции движение продолжится и маятник отклоняется в другую сторону. Равнодействующая сила его снова возвращает.

Физический маятник.

Физическим маятником называется твердое тело, закрепленное на неподвижной горизонтальной ocи (оси подвеса), не проходящей через центр тяжести, и совершающее колебания относительно этой оси под действием силы тяжести. В отличие от математического маятника массу такого тела нельзя считать точечной.

основное уравнение динамики вращательного движения M = I

Билет №104. Электромагнитные колебания. Колебательный контур.

Электромагнитные колебания — это колебания электрического и магнитного полей, которые сопровождаются периодическим изменением заряда, силы тока и напряжения. Простейшей системой, где могут возникнуть и существовать свободные электромагнитные колебания, является колебательный контур.

Колебательный контур — это цепь, состоящая из катушки индуктивности и конденсатора. Если конденсатор зарядить и замкнуть на катушку, то по катушке потечет ток. Когда конденсатор разрядится, ток в цепи не прекратится из-за самоиндукции в катушке. Индукционный ток, в соответствии с правилом Ленца, будет иметь то же направление и перезарядит конденсатор. Процесс будет повторяться по аналогии с колебаниями маятниками. Таким образом, в колебательном контуре будут происходить электромагнитные колебания из-за превращения энергии электрического поля конденсатора () в энергию магнитного поля катушки с током (), и наоборот. Период электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре (т. е. в таком контуре, где нет потерь энергии) зависит от индуктивности катушки и емкости конденсатора и находится по формуле Томсона . Частота с периодом связана обратно пропорциональной зависимостью .

Свободные электрические гармоническое колебания происходят в колебательном контуре по закону:

q = q ₀ cos (ω t + φ₀).

Полная электромагнитная энергия в идеальном колебательном контуре остается постоянной:

Собственная частота свободных колебаний равняется

Мощность, выделяемая на участке цепи, равна:

P = IU cos φ,

где φ – разность фаз между колебаниями напряжения и силы тока.

Действующие (эффективные) значения силы тока и напряжения равны:

Билет №105. Затухающие электромагнитные колебания.

Такие колебания возникают в колебательном контуре, который, кроме индуктивности и емкости , обладает активным сопротивлением .

где - амплитуда колебаний заряда на обкладках конденсатора.

Характеристики затухающих электромагнитных колебаний:

1) коэффициент затухания: ;

2) частота затухающих колебаний: ;

3) период затухающих колебаний: ;

4) декремент затухания: ;

5) логарифмический декремент затухания:

; ;

6) время релаксации :

; ;

7) число колебаний за время релаксации :

Билет №106. Вынужденные электромагнитные колебания. Явление резонанса.

Вынужденными колебаниями называют такие колебания, которые вызываются действием на систему внешних сил, периодически изменяющихся с течением времени. В случае электромагнитных колебаний такой внешней силой является периодически изменяющаяся э.д.с. источника тока. Отличительные особенности вынужденных колебаний: вынужденные колебания - незатухающие колебания; частота вынужденных колебаний равна частоте внешнего периодического воздействия на колебательную систему, т.е., в данном случае, равна частоте изменения э.д.с. источника тока. Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты изменения э.д.с. источника тока. Для вынужденных колебаний характерно явление электрического резонанса, при котором амплитуда вынужденных колебаний становится максимальной. Это физическое явление наблюдается при совпадении частоты изменения э.д.с. источника тока с собственной частотой колебаний данного контура, т.е.:

, где: i - мгновенное значение тока, т.е. его значение в момент времени t = 0; J0 - амплитудное или максимальное значение силы тока; w - частота изменения тока, численно равная частоте изменения э.д.с. источника тока.

Источником переменного тока является генератор переменного тока, физический принцип действия которого основан на равномерном вращении с угловой скоростью w плоской рамки площадью S, состоящей из N витков, в однородном магнитном поле с индукцией В. При этом рамку пронизывает переменный магнитный поток:

, где: Ф0 - максимальное значение магнитного потока; a - угол между нормалью к рамке и вектором магнитной индукции В; w - угловая скорость вращения рамки.