Если заданный интеграл с помощью алгебраических преобразований трудно или невозможно свести к одному или нескольким табличным интегралам, то для его отыскания применяют особые способы, одним из которых является способ подстановки (замены переменной).
Заметим, что все способы интегрирования имеют целью свести данный интеграл к табличному с помощью тех или иных искусственных приемов.
Способ подстановки заключается в следующем: заменяют новой переменной такую часть подынтегральной функции, при дифференцировании которой получается оставшаяся часть подынтегрального выражения (не считая постоянного множителя, на который всегда можно умножить и разделить подынтегральное выражение).
Например, в интеграле удобно произвести замену , так как оставшаяся часть подынтегрального выражения равна . Тогда перепишем данный интеграл в виде . Полученный интеграл является табличным; он находится по формуле 1: .
Далее, производя обратную замену , получим ответ: .
Решение этого примера можно кратко оформить так:
|
|
Напомним, что если при интегрировании одной и той же функции разными способами получили различные результаты, то необходимо показать, что они отличаются на постоянную величину.
Так, рассмотренный выше пример можно решить иначе, если применить формулу .
Тогда получим
Результат по виду отличается от найденного ранее; однако, преобразуя первый результат, имеем .
Отсюда видно, что разность функций равна , т.е. постоянному числу.
Естественно, возникает вопрос: как правильно выбрать подстановку? Это достигается практикой в интегрировании. Все же можно установить ряд общих правил и некоторых приемов для частных случаев интегрирования.
Правило интегрирования способом подстановки состоит в следующем:
1. Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).
2. Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.
3. Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.
4. Производят замену под интегралом.
5. Находят полученный интеграл.
6. В результате производят обратную замену, то есть переходят к старой переменной. Результат полезно проверить дифференцированием.