2020-06-29
93
ЗАНЯТИЕ №7
ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ
ЧАСТЬ А)
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА
Поверхностные интегралы второго рода
Поверхностный интеграл второго рода можно определить, опираясь на понятие поверхностного интеграла первого рода (см. пункт 12.2). Пусть в каждой точке 
поверхности 
задано векторное поле 
. Очевидно, чтобы задать векторное поле, достаточно указать три его компоненты — скалярные функции 
, 
, 
от трех переменных 
, 
и 
. В каждой точке поверхности выберем единичную нормаль 
(рис. 12.1) так, чтобы она менялась непрерывным образом. Это можно сделать одним из двух способов: выбрать или 
. Говорят, что при этом выбрана определенная сторона поверхности. Скалярное произведение 
, проинтегрированное по поверхности в смысле интеграла первого рода, как раз и дает поверхностный интеграл второго рода, который иначе называют потоком векторного поля 
: 
. Учитывая координаты единичного вектора , запишем подынтегральное выражение так:
, но 
,
, 
(ср. пункт 12.1), отсюда координатная запись потока вектора принимает вид
|
|
|
.
В последней формуле перед каждым двойным интегралом выбирается знак, совпадающий со знаком 
, 
или 
соответственно (т. е. плюс, если вектор составляет острый угол с соответствующей координатной осью, и минус, если этот угол тупой). Обратите внимание, что в каждом из интегралов подынтегральная функция выражена через переменные интегрирования, т. е. третья переменная исключена согласно уравнению, задающему поверхность . Такой метод сведения поверхностного интеграла второго рода к трем двойным (т. н. метод проектирования на три координатные плоскости) удобен только в случае, когда поверхность взаимно-однозначно проектируется на каждую из трех координатных плоскостей (в 
, 
, 
), иначе необходимо разбить на несколько частей, что приводит к значительному увеличению объема вычислений. Поэтому мы рекомендуем метод проектирования на одну координатную плоскость. Пусть, для определенности, это будет плоскость 
, а нормаль составляет острый угол с осью 
. Тогда подынтегральное выражение в поверхностном интеграле второго рода равно
.
Итак, поток векторного поля сводится к двойному интегралу по формуле
.
Все обозначения в этой формуле соответствуют рисунку 12.1. Переменная в функциях , , заменяется на 
из уравнения поверхности .
В заключение заметим, что векторная запись потока эквивалентна записи 
в координатной форме, где 
.
