Основные теоретические сведения о функции

1 2

Тема: «Функции и графики. Производная. Интеграл»

План

Основные теоретические сведения о функции.

Виды функций.

3. Производная.

4. Интеграл.

Цели занятия:

1. Систематизировать и обобщить теоретические и практические знания по теме занятия « Функции и графики. Производная. Интеграл».

2. Совершенствовать навыки студентов в построении графиков функций, нахождении производных и вычислении интегралов.

Задачи занятия:

1. Систематизация, углубление и расширение знаний, полученных студентами ранее с целью подготовки к успешной сдаче экзамена.

2. Создание условий для развития познавательного интереса к предмету, развития логического мышления и самоконтроля.

3. Развивать математическую речь, основные мыслительные операции обучающихся: умение сравнивать, анализировать.

Основные теоретические сведения о функции.

Функция – это соответствие вида y = f (x) между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой переменной величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение другой переменной величины, y (зависимой переменной, иногда это значение просто называют значением функции). Обратите внимание, что функция подразумевает, что одному значению аргумента х может соответствовать только одно значение зависимой переменной у. При этом одно и то же значение у может быть получено при различных х.

Область определения функции – это все значения независимой переменной (аргумента функции, обычно это х), при которых функция определена, т.е. ее значение существует. Обозначается область определения D (y). Область определения функции по другому называется областью допустимых значений (ОДЗ).

Область значений функции – это все возможные значения зависимой переменной данной функции. Обозначается Е (у).

Функция возрастает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Промежутки знакопостоянства функции – это промежутки независимой переменной, на которых зависимая переменная сохраняет свой положительный или отрицательный знак.

Нули функции – это такие значения аргумента, при которых величина функции равна нулю. В этих точках график функции пересекает ось абсцисс (ось ОХ). Очень часто необходимость найти нули функции означает необходимость просто решить уравнение. Также часто необходимость найти промежутки знакопостоянства означает необходимость просто решить неравенство.

Функцию y = f (x) называют четной, если она определена на симметричном множестве и для любого х из области определения выполняется равенство:

Для любых противоположных значений аргумента, значения четной функции равны. График чётной функции всегда симметричен относительно оси ординат ОУ.

Функцию y = f (x) называют нечетной, если она определена на симметричном множестве и для любого х из ОДЗ выполняется равенство:

Это означает, что для любых противоположных значений аргумента, значения нечетной функции также противоположны. График нечётной функции всегда симметричен относительно начала координат.

Важно отметить: некоторая функция не обязательно должна быть четной либо нечетной. Существует множество функций не являющихся ни четными ни нечетными. Такие функции называются функциями общего вида, и для них не выполняется ни одно из равенств или свойств приведенных выше.

Виды функций.

2.1. Линейная функция - функция, которая задаётся формулой: .

График линейной функции - прямая. Приведен пример для случая

когда k > 0, в этом случае функция возрастающая; для случая k < 0

функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую

сторону - слева направо.

2.2. Квадратичная функция задаётся формулой ()

Квадратичная функция, как и любая другая

функция, пересекает ось ОХ в точках

являющихся её корнями: (x ₁; 0) и (x ₂; 0). Если

корней нет, значит квадратичная функция ось

ОХ не пересекает, если корень один, значит в

этой точке (x ₀; 0) квадратичная функция только

касается оси ОХ, но не пересекает её.

Квадратичная функция всегда пересекает ось OY

в точке с координатами: (0; c).

1) если коэффициент a > 0, то ветви параболы

направлены вверх;

2) если же a < 0, то - вниз.

Координаты вершины параболы могут быть

вычислены по следующим формулам:

2.3. Степенная функция:

2.4. Обратно пропорциональная зависимость: . В зависимости от знака числа k график обратно пропорциональной зависимости может иметь два варианта:

Асимптота - это линия, к которой линия графика функции бесконечно близко приближается, но не пересекает. Асимптотами для графиков обратной пропорциональности являются оси координат, к которым график функции бесконечно близко приближается, но не пересекает их.