Нестационарные случайные процессы

Необходимо заметить, что в общем случае строго стационарных про­цессов в природе нет. Считать процесс стационарным или нестационарным, зависит в основном от выбора продолжительности времени наблюдения.

К нестационарным процессам относятся все случайные процессы, не­удовлетворяющие условиям стационарности. Если не наложены дополни­тельные ограничения, то свойства случайных нестационарных процессов обычно зависят от времени и могут быть установлены только путем усредне­ния в отдельные моменты времени по ансамблю выборочных функций, обра­зующих процесс. На практике часто не удается получить достаточное для точной оценки свойств процесса число реализаций. Этим фактом объясняет­ся отставание в развитии практических методов измерения и анализа случай­ных нестационарных процессов.

Во многих случаях случайные нестационарные процессы, отвечающие реальным физическим явлениям, имеют особенности, упрощающие их ана­лиз и измерение. Так, большой класс случайных нестационарных колеба­тельных процессов, у которых хотя бы одна статистическая характеристика зависит от времени, можно представить в виде суммы      

 ,                                                  (3.15)   

где x (t) – случайный стационарный процесс; μ(t) и x _с(t) – неслучайные функции времени, причем  является математическим ожиданием x (t).

Случайные колебания со слагаемым х_с (t) в виде детерминированной функции времени и при μ (t) = 1 относятся к нестационарным по матема­тическому ожиданию колебательным процессам. Обычно детерминирован­ная составляющая x_с (t), называемая трендом, рассматривается как нежела­тельная компонента, искажающая наблюдения. Для исключения тренда ис­пользуются специальные методы фильтрации и сглаживания [11]. Если x_с (t) рассматривается как помеха, а  –как полезный сигнал, то такие помехи иногда называют аддитивными, т. е. суммируемыми с сигналом. Колебатель­ный процесс, нестационарный по дисперсии, определяется формулой (3.15) при условии, что x_с (t) = const, а μ (t) – детерминированная функция времени. Такие случайные процессы иногда называют мультипликативными. Процес­сы, нестационарные по спектральной плотности (корреляционной функции), изменяют свои частотные свойства во времени, а колебательные процессы, нестационарные по одномерной плотности распределения, изменяют во вре­мени свои законы распределения. Кроме указанных, возможны колебатель­ные процессы с более сложными видами нестационарности, а также комби­нированные нестационарные процессы.

Нестационарным называется любой процесс, не обладающий свойст­вом стационарности. Статистические характеристики такого процесса, опре­деленные усреднением по ансамблю его реализаций, не являются инвариант­ными по отношению к переносу начала отсчета на временной оси и зависят от времени.

Другими словами, данные представляются случайным нестационарным процессом, если все выборочные функции которого имеют общий детерми­нированный тренд. Если случайный нестационарный процесс имеет такой вид, то для описания его свойств не всегда требуется усреднение по ансамб­лю. Иногда многие важные свойства удается оценить по единственной выбо­рочной функции, как и в случае эргодических стационарных процессов.