Биномиальные коэффициенты

Дисциплина: Математика

Преподаватель: Таранина Е.И.

Занятие 108. Бином Ньютона, треугольник Паскаля.

План занятия:

1. Бином Ньютона.

2. Биномиальные коэффициенты.

3. Треугольник Паскаля.

4. Задания для самоконтроля.

Видео-материалы:

https://www.youtube.com/watch?v=WJ_ml-Aixj4

https://www.youtube.com/watch?v=Xmy1QpKW5WU

1. Бином Ньютона - название формулы, выра­жающей степень двучлена в виде суммы одночленов.

Формулу для квадрата двучлена

(а + b)² = = а² + 2ab + b²

знали, еще ма­тематики Древнего Вавилона, а древнегрече­ские математики знали ее геометрическое ис­толкование.

  Если умножить обе части этой формулы на (а + b) и раскрыть скобки, то получим:

(а + b)³ = (а² + 2ab + b²)(а + b) = а³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³,

           т. е. (а + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Аналогичный шаг может привести к следующей формуле:

                   (а + b)⁴ = а⁴ + 4а³b + 6 a²b² + 4ab³ + b⁴.

Легко заметить закон образования коэффи­циентов: коэффициент 4 при a³b есть сумма коэффициентов 3 и 1 при a²b и а³. Аналогич­но, коэффициент 6 при a²b² является суммой (3 + 3) коэффициентов при ab² и a²b. По то­му же закону получаем и коэффициент 4 при ab³.

Таким образом, коэффициент С ^k _n при а^n-k b^k в разложении (а + b)ⁿ равен сумме коэффи­циентов C^k-1 _n-1 и C^k _n-1 при а^n-k b^k-1 и при а^n-k-1 b^k разложении

  (а + b)^n-1, а коэффи­циенты при аⁿ и при bⁿ равны единице.

Отсюда следует, что коэффициенты С ^k _n в равенстве:

(а + b)ⁿ = аⁿ + С¹_n а^n-1b +... + С^k_n а^n-kb^k +... + bⁿ                   (1)

являются членами (n+1)-й строки треуголь­ника Паскаля.

Это утверждение было известно задолго до Па­скаля - его знал живший в XI-XII вв. средне­азиатский математик и поэт Омар Хайям (к сожалению, его сочинение об этом до нас не дошло).

Биномиальные коэффициенты.

Первое дошедшее до нас описание формулы бинома Ньютона содержится в по­явившейся в 1265 г. книге среднеазиатского математика ат-Туси, где дана таблица чисел С ^k _n (биномиальных коэффициентов) до п = 12 включительно.

Европейские ученые познакомились с фор­мулой бинома Ньютона, по-видимому, через восточных математиков. Детальное изучение свойств биномиальных коэффициентов про­вел французский математик и философ Блез Па­скаль в 1654 г. Еще до этого было известно, что числа

                      

являются в то же время числами «сочетаний без повторений» из n элементов по k.

В 1664-1665 гг. И. Ньютон установил, что формула (1) обобщается на случай про­извольных (дробных и отрицательных) пока­зателей, но при этом получается сумма из бе­сконечного множества слагаемых. Именно он показал, что при | х | < 1

(2)

При п = — 1 формула (2) превращается в из­вестную формулу для суммы бесконечной гео­метрической прогрессии:

   

3.Треугольник Паскаля.

На рис. 1 изображено несколько первых строк числового треугольника, образованного по следующему правилу: по краям каждой строки стоят единицы, а каждое из остальных чисел равно сумме двух стоящих над ним чи­сел предыдущей строки.

  По этому правилу легко выписывать одну за другой новые стро­ки этого треугольника. Именно в такой фор­ме он приведен в «Трактате об арифметиче­ском треугольнике» французского математика Б. Паскаля (1623-1662), опубликованном в 1665 г., уже после смерти автора.

 

 

Популярность чисел, составляющих треу­гольник Паскаля, не удивительна: они возни­кают в самых естественных задачах алгебры, комбинаторики, теории вероятностей, матема­тического анализа, теории чисел.

Сколько различных k-элементных множеств (сочетаний) можно образовать из данных п элементов?

Каковы коэффициенты многочлена (1 +х)ⁿ?

Сколько существует строчек из п единиц и нулей, в которых ровно k единиц?

Сколькими разными путями можно спу­ститься из верхней точки А на рис 2. в k-й перекресток n-го ряда?

Рис 2

На все эти вопросы ответ дают числа С ^k _n, треугольника Паскаля. Обозначение С ^k _nпред­полагает, что верхняя строка треугольника Паскаля состоит из одного числа С ⁰ ₀ = 1, сле­дующая (первая)-из двух чисел С ⁰ ₁ = С ¹ ₁=1, и вообще п-я строка состоит из п+1 чисел:

 

Числа С ^k_n называют обычно числами соче­таний из п элементов по k, или биноми­альными коэффициентами в некоторых книгах для них используют обозначение . Оно удобно для запоминания простой формулы, позволяющей по заданным номерам n и k сразу вычислить, какое число стоит на к-м месте в n-й строке тре­угольника Паскаля:

Используя обозначение факториала т! = = 1 • 2 •... • m, эту формулу можно записать еще короче:           

В «равнобедренной» форме треугольника Паскаля на рис. 1 очевидно свойство симмет­рии каждой строки С ^k _n= С ^n-k _n; при этом посе­редине строки стоит самое большое число  (если п четно) или два самых больших числа      (если п нечетно), а к краям числа монотонно убывают.

Если записать тот же треугольник в «пря­моугольной» форме (рис.3), то целый ряд свойств треугольника Паскаля, связанный с суммами его чисел, будет удобнее наблю­дать. В частности, сумма нескольких первых чисел каждого столбца равна идущему за ни­ми числу следующего столбца:

Рис.3

Числа   называются треу­гольными числами, а числа
 - пирамидальными;

а при т> к,                              

Суммы чисел по «восходящим» (зеленым) диагоналям на рисунке 3 равны последова­тельным числам Фибоначчи.

Для применений в теории вероятностей особенно важны асимптотические формулы для чисел треугольника Паскаля, т.е. прибли­женные оценки этих чисел при больших п.